第5节空间向量[A级基础巩固]1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析：因为a·b＝－12＋36－24＝0，所以l1⊥l2.答案：B2.如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝()A．6B．6C．12D．144解析：因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.所以|PC|＝12.答案：C3．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cos〈a，b〉＝＝＝，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故选D.答案：D4．(2020·郑州调研)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于()A．9B．－9C．－3D．3解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9.答案：B5．(2020·河北五校联考)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为()A．－B．－2C．0D．－或－2解析：因为空间向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，所以(2m＋1，3，m－1)＝λ(2，m，－m)＝(2λ，λm，－λm)，所以解得m＝－2.答案：B6．(2020·郑州模拟)在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(1，0，2)，B(0，2，1)，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么|CD|的最小值是()A.B.1C.D.解析：设C(x，0，0)，D(0，y，0)，因为A(1，0，2)，B(0，2，1)，所以AD＝(－1，y，－2)，BC＝(x，－2，－1)．因为AD⊥BC，所以AD·BC＝－x－2y＋2＝0，即x＋2y＝2.因为CD＝(－x，y，0)，所以|CD|＝＝＝＝≥.答案：B7．设点C(2a＋1，a＋1，2)在由点P(2，0，0)，A(1，－3，2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________．解析：由共面向量定理知PC＝xPA＋yPB，则(2a－1，a＋1，2)＝x(－1，－3，2)＋y(6，－1，4)，故解得a＝16.答案：168．(2020·菏泽模拟)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________．解析：因为a∥b，且a与b反向，所以(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，k<0.所以解得或当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．当λ＝－3，μ＝时，k＝－3，a与b反向．因此λ＋μ＝－3＋＝－.答案：－9．已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．解析：由题意，设OQ＝λOP，则OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2.当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2)．答案：(1，1，2)10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝a，AB＝b，AD＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．(1)试用a，b，c表示MN；(2)求证：MN∥平面ABB1A1.(1)解：因为A1D＝AD－AA1＝c－a，2所以A1M＝A1D＝(c－a)．同理，A1N＝(b＋c)，所以MN＝A1N－A1M＝(b＋c)－(c－a)＝(b＋a)＝a＋b.(2)证明：因为AB1＝AA1＋AB＝a＋b，所以MN＝AB1，即MN∥AB1，因为AB1⊂平面ABB1A1，MN⊄平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.[B级能力提升]11．(多选题)已知A(－4，6，－1)，B(4，3，2)，则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是()A.B.C．(－15，4，36)D．(15，4，－36)解析：设平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量是u＝(x，y，z)，则即得9y＋z＝0，令y＝1，解得故u＝＝(15，4，－36)．答案：BD12．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝VC，VM＝VB，VN＝VD.则VA与平面PMN的位置关系是________．解析：如图所示，设VA＝a，VB＝b，VC＝c，则VD＝a＋c－b，由题意知PM＝b－c，PN＝VD－VC＝a－b＋c.因此VA＝PM＋PN，所以VA，PM，PN共面．又因为VA⊄平面PMN，所以VA∥平面PMN.答案：平行13．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1...
