考点42直线、平面平行的判定与性质1．如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（）A．异面直线和所成的角为定值B．直线和平面平行C．三棱锥的体积为定值D．直线和平面所成的角为定值【答案】D，由线面夹角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时这个角是变化的，故错误故选2．平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，，，则m，n所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】A3．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点P，Q分别为线段A1B，B1C上的动点，若直线PQ∩平面ACC1A1＝，点M为线段PQ的中点，则点M的轨迹长度为A．B．C．D．【答案】D4．棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为（）A．5B．C．D．6【答案】C【解析】结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.取BC中点M，取中点N，则四边形即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得，根据各边长，可以断定四边形为菱形，所以其面积，故选C.5．在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为.6．如图，四棱锥，，，，，M，O分别为CD和AC的中点，平面ABCD．求证：平面平面PAC；Ⅱ是否存在线段PM上一点N，使得平面PAB，若存在，求的值，如果不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）当N为PM靠近P点的三等分点时，平面PAB．7．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.（1）证明：∥平面；（2）设，若点到平面的距离为,求二面角的大小.【答案】(1)见解析（2）【解析】（1）证明：连结交于点，连结,因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以，平面平面，所以平面8．如图1，在△中，分别为的中点，为的中点，．将△ADE沿DE折起到△的位置，使得平面如图2．（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.图1图2【答案】(I)见解析；（II）.,设面的法向量，则，解得，所以，，所以所以二面角的平面角的余弦值9．如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点为棱的中点.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2).10．如图，已知平面平面，为线段的中点，，四边形为边长为1的正方形，平面平面，，，为棱的中点.(1)若为线上的点，且直线平面，试确定点的位置；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）又平面的一个法向量所求锐二面角的余弦值约：.11．如图所示,平面,平面平面,四边形为正方形，,,点在棱上.(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析(2)不存在,使得平面平面则．12．在三棱柱中，已知侧棱与底面垂直，，且，，为的中点，为上一点，．（1）若三棱锥的体积为，求的长；（2）证明：平面．【答案】（1）．（2）见解析．又，∴，而平面，平面，∴平面.13．如图，三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，在线段上移动，为棱的中点.（1）若为线段的中点，为中点，延长交于，求证：平面；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）则14．在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).平面中，设法向量为，则,取,，所以二面角的余弦值为.15．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，且，与交于点，底面，.（1）求证：无论为何值，在棱上总存在一点，使得平面；（2）当二面角为直二面角时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）1设平16．四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤....
