解析几何问题感悟体验·快易通1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1),离心率为,动直线y=x+m交椭圆M于不同的两点A,B,T(1,1).(1)求椭圆M的标准方程.(2)试问:△TAB的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得=,b=1,又a2=b2+c2,所以a=,c=1,椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由得3x2+4mx+2m2-2=0.由题意得,Δ=16m2-24(m2-1)>0,即m2-3<0,所以-0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=.(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得·为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM==,xM=-,代入+=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1·x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2≤m≤2,·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+k(x1-1)·k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若·为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A,B,又N,则·=·=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,使得·=-为定值.
