第7节抛物线[A级基础巩固]1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)且＝1，得p＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.答案：D2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：由已知得准线方程为x＝－2，所以点F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.答案：C3．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.B．2C．2D．3解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方，所以M(3，2)．因为MN⊥l，所以N(－1，2)．所以|NF|＝＝4，|MF|＝|MN|＝＝4.所以△MNF是边长为4的等边三角形．所以点M到直线NF的距离为2.故选C.答案：C4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B.C．10D.1解析：依题意可知焦点F的坐标为，准线方程为y＝－，延长PM交准线于H(图略)，则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－＝.答案：B5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以FM＝(0，2)，FN＝(3，4)．所以FM·FN＝0×3＋2×4＝8.故选D.答案：D6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________．解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k<0或00)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________．解析：作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，所以在直角三角形PKM中，sin∠PKM＝＝＝，所以∠PKM＝45°，所以△PMK为等腰直角三角形，所以|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p>0)上，所以解得答案：29．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.2(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝.因为MN⊥FA，所以kMN＝－，所以FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y＝－x＋2，②由①②联立得x＝，y＝，所以点N的坐标为.10．(2020·泰安模拟)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由(1)知p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，又x1＜x2，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．设...
