(七)计数原理1．已知等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，其中ai(i＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)n的值；(2)an的值．解(1)在(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10中，令x＝－1，得a0＝1.令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝25＝32.所以n＝a1＋a2＋…＋a10＝31.(2)等式(x2＋2x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10两边对x求导，得5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9.在5(x2＋2x＋2)4·(2x＋2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋9a9(x＋1)8＋10a10(x＋1)9中，令x＝0，整理得an＝a1＋2a2＋…＋9a9＋10a10＝5·25＝160.2．设等差数列{an}的首项为1，公差为d(d∈N*)，m为数列{an}中的项．(1)若d＝3，试判断m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，m的展开式中均不含常数项．(1)解因为{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2.假设m的展开式中第r＋1项为常数项(r∈N)，Tr＋1＝Cxm－rr＝，于是m－r＝0.设m＝3n－2(n∈N*)，则有3n－2＝r，即r＝2n－，这与r∈N矛盾．所以假设不成立，即m的展开式中不含常数项．(2)证明由题设知an＝1＋(n－1)d，设m＝1＋(n－1)d，由(1)知，要使对于每一个m，m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n∈N*，满足1＋(n－1)d－r＝0的r无自然数解，即r＝(n－1)＋∉N.当d＝3k(k∈N*)时，r＝(n－1)＋＝2k(n－1)＋∉N.故存在无穷多个d，满足对每一个m，m的展开式中均不含常数项．3．已知f(x)＝(2＋)n，其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成＋(s∈N*)的形式．(1)解因为Tr＋1＝C2n－rx，当＝3时，r＝6，故x3项的系数为C2n－6＝14，解得n＝7.(2)证明由二项式定理可知，(2＋)n＝C2n()0＋C2n－1()1＋C2n－2()2＋…＋C20()n，设(2＋)n＝p＋q＝＋，p，q∈N*，而若有(2＋)n＝＋，a，b∈N*，则(2－)n＝－，a，b∈N*.∵(＋)·(－)＝(2＋)n·(2－)n＝1，∴a－b＝1，令a＝s，s∈N*，得b＝s－1，∴(2＋)n必可表示成＋的形式，其中s∈N*.4．设n∈N*，n≥3，k∈N*.(1)求值：①kC－nC；②k2C－n(n－1)C－nC(k≥2)；(2)化简：12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C.解(1)①kC－nC＝k×－n×＝－＝0.②k2C－n(n－1)C－nC＝k2×－n(n－1)×－n×＝k×－－＝＝0.(2)由(1)可知当k≥2时，(k＋1)2C＝(k2＋2k＋1)C＝k2C＋2kC＋C＝[n(n－1)C＋nC]＋2nC＋C＝n(n－1)C＋3nC＋C.故12C＋22C＋32C＋…＋(k＋1)2C＋…＋(n＋1)2C＝(12C＋22C)＋n(n－1)(C＋C＋…＋C)＋3n(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(1＋4n)＋n(n－1)2n－2＋3n(2n－1－1)＋(2n－1－n)＝2n－2(n2＋5n＋4)．
