中档题保分练(四)1．(2018·唐山模拟)已知a＝(2sinωx，sinωx＋cosωx)，b＝(cosωx，(sinωx－cosωx))，0＜ω＜1，函数f(x)＝a·b，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC中，已知f(A)＝0，c＝3，a＝，求b.解析：(1)f(x)＝a·b＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin.∵x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±2，∴2×ω－＝kπ＋，k∈Z.∴ω＝＋，k∈Z.∵ω∈(0,1)，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin.令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴f(x)＝2sin，f(x)的增区间为，k∈Z.(2)∵f(A)＝2sin＝0，∴A－＝kπ，∴A＝kπ＋，k∈Z.∵A∈(0，π)，∴A＝.在△ABC中，由余弦定理：cosA＝，∴b2＋c2－a2－2bccosA＝0，∴b2＋32－13－2b×3×＝0，∴b2－3b－4＝0，∴(b－4)(b＋1)＝0.∵b＞0，∴b＝4.2．(2018·湘潭模拟)某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费x(单位：万元)对年创新产品销售额y(单位：十万元)的影响，对近10年的研发经费xi与年创新产品销售额yi(i＝1,2，…，10)的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．其中∑xi＝65，∑yi＝75，∑(xi－3)2＝205，∑(xi－3)4＝8773，∑(xi－3)2yi＝2016.现拟定y关于x的回归方程为y＝a(x－3)2＋b.(1)求a，b的值(结果精确到0.1)；(2)根据拟定的回归方程，预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是多少？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝＝，α＝－β.解析：(1)令t＝(x－3)2，则y＝at＋b，＝∑(xi－3)2＝20.5，＝∑yi＝7.5，∑tiyi＝∑(xi－3)2yi＝2016，∑t＝∑(xi－3)4＝8773，a＝＝≈0.1，b＝－a＝7.5－0.10×20.5＝5.45≈5.5.(2)由(1)知，y关于x的回归方程为y＝0.1(x－3)2＋5.5，当x＝13时，y＝0.1×(13－3)2＋5.5＝15.5(十万元)＝155万元，故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元．3．(2018·湘潭模拟)如图，三棱锥BACD的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，E，F分别是棱CD，AD的中点．(1)证明：平面ABE⊥平面ACD；(2)若四面体ABEG的体积为，求线段AE的长．解析：(1)证明：因为BC＝BD，E是棱CD的中点，所以BE⊥CD.又三棱锥BACD的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B，所以AB⊥平面BCD，则AB⊥CD.因为AB∩BE＝B，所以CD⊥平面ABE，又CD⊂平面ACD，所以平面ABE⊥平面ACD.(2)取BD的中点G，连接EG，则EG∥BC.易证BC⊥平面ABD，从而EG⊥平面ABD，所以四面体ABEG的体积为××AB×BD×EG＝＝，则AB＝3，在Rt△ABE中，BE＝，AE＝＝.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)(2018·临沂模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：ρ＝2cosθ.(1)若曲线C2参数方程为：(α为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2参数方程为(t为参数)，A(0，1)，且曲线C1与曲线C2交点分别为P，Q，求＋的取值范围．解析：(1)∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，又∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2－2x＝0.曲线C2的普通方程为：x2＋(y－1)2＝t2.(2)将C2的参数方程：(t为参数)代入C1的方程：x2＋y2－2x＝0得：t2＋(2sinα－2cosα)t＋1＝0.∵Δ＝(2sinα－2cosα)2－4＝8sin2－4＞0，∴∈，∴sin∈∪.t1＋t2＝－(2sinα－2cosα)＝－2sin，t1·t2＝1＞0.∵t1·t2＝1＞0，∴t1，t2同号，∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|.由t的几何意义可得：＋＝＋＝＝＝＝2∈(2,2]，∴＋∈(2,2]．(选修4－5：不等式选讲)(2018·临沂模拟)已知函数f(x)＝|2x＋b|＋|2x－b|.(1)若b＝1，解不等式f(x)＞4，(2)若不等式f(a)＞|b＋1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围．解析：(1)b＝1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|＞4，⇒x＞1或⇒x＜－1或⇒x∈∅.所以解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f(a)＝|2a＋b|＋|2a－b|＝|2a＋b|＋|b－2a|≥|(2a＋b)＋(b－2a)|＝|2b|.当且仅当(2a＋b)·(b－2a)≥0时(f(a))min＝|2b|，所以|2b|＞|b＋1|，所以(2b)2＞(b＋1)2，所以(3b＋1)(b－1)＞0.所以b的取值范围为∪(1，＋∞)．
