高考数学一轮复习 专题2.11 导数的概念及计算练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第十一讲导数的概念及计算一.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).二.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝三.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).【套路秘籍】---千里之行始于足下四.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.数f′(x)＝称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一导数的概念【例1】设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0+2Δx)Δx=3，则f'(x0)=。【答案】-1【解析】由题意=3，所以．【举一反三】1.设函数y=f(x)可导，则lim△x→0f(1+3△x)−f(1)△x等于。【答案】13f'(1)【解析】 函数y=f（x）可导，根据导数的定义f'(1)=lim△x→0f(x+△x)−f(x)△x可知13lim△x→0f(1+3△x)−f(1)3△x=13f'(1)。2．若limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)Δx=1，则f'(x0)=。【答案】13【解析】由题得limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)Δx=1，所以3limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0)3Δx=1，所以3f'(x0)=1，所以f'(x0)=13.考向二利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数（2）)11)(1(xxy（3）2cos2sinxxxy【答案】见解析【解析】（1）2311xxy,.2332'xxy（2）先化简,2121111xxxxxxy，.112121212321'xxxxy（3）先使用三角公式进行化简.xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21''''xxxxxy；.【套路总结】导数计算的原则和方法1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导。2.方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差和的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。【举一反三】1．下列求导运算正确的是（）A．(3x)'=x•3x−1B．(2ex)'=2ex（其中e为自然对数的底数）C．(x2+1x)'=2x+1x2D．(xcosx)'=cosx−xsinxcos2x【答案】B【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．详解：(3x)'=3xln3，(2ex)'=2(ex)'=2ex，(x2+1x)'=2x−1x2，(xcosx)'=cosx+xsinxcos2x，因此只有B正确．故选B．2．求下列函数的导数：（1）y=❑√x5+❑√x7+❑√x9❑√x；（2）y=x⋅tanx(3)y＝xnlgx；(4)y＝1x+2x2+1x3；【答案】见解析【解析】（1）因为y=❑√x5+❑√x7+❑√x9❑√x=x2+x3+x4，所以y'=2x+3x2+4x3.（2）y'=(x⋅tanx)'=(xsinxcosx)'=(xsinx)'cosx−xsinx(cosx)'cos2x=(sinx+xcosx)cosx+xsin2xcos2x=sinxcosx+xcos2x。(3)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1(nlgx＋)．(4)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.考向三复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y＝sin(2x＋1)（3）【答案】（1）2cos(2x＋1)（2）【解析】（1）y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sinμ和μ＝2x＋1复合而成的，所以y′x＝y′μ·μ′x＝cosμ·(2x＋1)′＝2cosμ＝2cos(2x＋1)．（2）（3）【套路总结】求复合函数的导数的关键环节和方法步骤①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层...