考点14导数的应用1、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2(x2＋bx＋)的单调递减区间为()A.B．[3，＋∞)C．[－2,3]D．(－∞，－2)【答案】D【解析】因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以解得令g(x)＝x2＋bx＋，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1，由g(x)＝x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.令g′(x)＜0，解得x<，所以g(x)＝x2－x－6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y＝log2的单调递减区间为(－∞，－2)．2、已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，1)B．(－∞，0)和(2，＋∞)C．(1,2)D．R【答案】B【解析】因为函数y＝x是R上的减函数，所以f′(x)＞0的充分必要条件是0＜f′(x)＜1,f′(x)＜0的充分必要条件是f′(x)＞1.由图象可知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0＜f′(x)＜1，即f′(x)＞0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．故选B.3、若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为()A.B．C.D．【答案】C【解析】结合函数y＝ax2(a>0)和y＝ex的图象可知，要使曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，只要ax2＝ex在(0，＋∞)上有解，从而a＝.令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝＝，令h′(x)＝0，得x＝2，易知h(x)min＝h(2)＝，所以a≥.4、已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】f′(x)＝(x－m)2＋2x(x－m)＝(x－m)·(3x－m)．由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当1＜x＜3时，f′(x)＜0；当x＜1或x＞3时，f′(x)＞0.此时在x＝1处取得极大值，不合题意．所以m＝1，此时f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＜或x＞1时，f′(x)＞0.此时在x＝1处取得极小值．选B.5、已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为()A．－，0B．0，－C.，0D．0，【答案】C【解析】由题意知，f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0,f(1)＝0得解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，易知当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，f(x)取极小值0.6、已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]【答案】D【解析】由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值又f(－3)＝28,f(1)＝－4,f(2)＝3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.7、已知函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为()A.－1B．C．D．＋1【答案】A【解析】由f(x)＝得f′(x)＝.当a＞1时，若x＞，则f′(x)＜0,f(x)单调递减；若1＜x＜，则f′(x)＞0,f(x)单调递增．故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，得a＝＜1，不合题意；当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不合题意；当0＜a＜1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，得a＝－1，符合题意，故a的值为－1.选A.8、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x＝()A.B．C．D．【答案】C【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，因此解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.因为x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.9、函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)【答案】C【解析】由题意知，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或－2，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，做出其图象如图所示．令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3,0)．故选C.10、已知函数f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)，给出以下命题：①f(x)的单调递减区间是；②...
