第57讲坐标系课时达标1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．解析由得①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．(2019·常德调考)设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．解析因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.3．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝.连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2.因此直线l被曲线C截得的弦长为2.4．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，点M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2的极坐标方程．解析设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|OP|·|OM|＝4得ρ1ρ＝4，即ρ1＝.因为M是C1上任意一点，所以ρ1sinθ＝2，即sinθ＝2，ρ＝2sinθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.5．(2019·福州四中月考)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．解析(1)因为C1的参数方程为所以C1的普通方程为＋y2＝1.由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acosθ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2，所以圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝，所以ρ＝，ρ＝＝.所以＋＝＋＝.6．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．解析(1)将C的参数方程化为普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3，所以点A的极坐标为A.把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4，所以点B的极坐标为B.所以S△AOB＝ρ1ρ2·sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)·sin＝12＋.
