第57讲坐标系课时达标1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．解析由得①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1
2．(2019·常德调考)设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求M，N的最小距离．解析因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1
3．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝
连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos＝2
因此直线l被曲线C截得的弦长为2
4．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，点M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2的极坐标方程．解析设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|OP|·|OM|＝4得ρ1ρ＝4，即ρ1＝
因为M是C1上任意一点，所以ρ1sinθ＝2，即sinθ＝2，ρ＝2sinθ
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ
5．(2019·福州四中月考)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与
