课时作业(二十五)第25讲平面向量基本定理及坐标表示时间/30分钟分值/80分基础热身1.若向量a=(-2,1),b=(1,-1),则2a+b=()A.(2,-2)B.(1,3)C.(-3,1)D.(3,2)2.[2018·安徽皖北协作区联考]设x∈R,向量m=(x,1),n=(4,-2),若m∥n,则|m+n|=()A.1B.3❑√5C.❑√5D.53.[2018·河南洛阳三模]已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为()A.-114B.12C.2D.1144.[2019·湖南师大附中月考]如图K25-1,已知⃗AB=a,⃗AC=b,⃗BC=4⃗BD,⃗CA=3⃗CE,则⃗DE=()图K25-1A.34b-13aB.512a-34bC.34a-13bD.512b-34a5.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量⃗AB共线的单位向量为.能力提升6.在△ABC中,B=90°,⃗AB=(1,-2),⃗AC=(3,λ),则λ=()A.-1B.1C.32D.47.在平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若⃗AC=λ⃗AM+μ⃗BD,则λ+μ=()A.94B.2C.158D.538.[2018·鞍山二模]若向量a=(-2,0),b=(2,1),c=(x,1)满足3a+b与c共线,则x的值为()A.-2B.-4C.2D.49.[2018·大庆二模]已知直线2x+3y=1与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,与直线x+y=0交于点C,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB(O为坐标原点),则λ,μ的值分别为()A.λ=2,μ=-1B.λ=4,μ=-3C.λ=-2,μ=3D.λ=-1,μ=210.[2018·辽宁朝阳一模]在△ABC中,G为△ABC的重心,过G点的直线分别交边AB,AC于P,Q两点,且⃗AP=h⃗AB,⃗AQ=k⃗AC,则16h+25k的最小值为()A.27B.81C.66D.4111.已知向量⃗AB=(m,n),⃗BD=(2,1),⃗AD=(3,8),则mn=.12.[2019·湖南师大附中月考]已知α为锐角,向量a=34,sinα,b=cosα,13,且a∥b,则α为.13.已知向量⃗OA=(1,-3),⃗OB=(2,-1),⃗OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k的取值范围是.14.[2018·河南濮阳二模]如图K25-2,有5个全等的小正方形,⃗BD=x⃗AE+y⃗AF,则x+y的值是.图K25-2难点突破15.(5分)[2018·贵州黔东南州二模]在平面上,⃗OB1⊥⃗OB2,且|⃗OB1|=2,|⃗OB2|=1,⃗OP=⃗OB1+⃗OB2.若|⃗MB1|=|⃗MB2|,则|⃗PM|的取值范围是.16.(5分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P是矩形内部一点(不含边界),且AP=1.若⃗AP=x⃗AB+y⃗AD,则3x+2y的取值范围是.课时作业(二十五)1.C[解析]2a+b=2(-2,1)+(1,-1)=(-3,1).故选C.2.C[解析]依题意1×4-(-2)·x=0,所以x=-2,则m=(-2,1),所以m+n=(-2,1)+(4,-2)=(2,-1),所以|m+n|=❑√22+¿¿=❑√5.故选C.3.B[解析]a+kb=(2+k,-1+k),c=(-5,1),因为(a+kb)∥c,所以(-5)×(-1+k)=2+k,解得k=12.故选B.4.D[解析]⃗DE=⃗DC+⃗CE=34⃗BC+13⃗CA=34(⃗AC-⃗AB)-13⃗AC=512b-34a.故选D.5.1213,-513,(-1213,513)[解析]由已知得⃗AB=(12,-5),所以|⃗AB|=13,因此与⃗AB共线的单位向量为±113⃗AB=±1213,-513.6.A[解析]在△ABC中,因为⃗AB=(1,-2),⃗AC=(3,λ),所以⃗BC=⃗AC-⃗AB=(2,2+λ).又因为B=90°,所以⃗AB⊥⃗BC,所以⃗AB·⃗BC=0,即2-2(λ+2)=0,解得λ=-1.故选A.7.D[解析]如图,因为⃗AC=λ⃗AM+μ⃗BD,所以⃗AB+⃗AD=λ⃗AB+12⃗AD+μ(⃗AD-⃗AB),即⃗AB+⃗AD=(λ-μ)⃗AB+λ2+μ⃗AD,因此λ-μ=1,λ2+μ=1,解得λ=43,μ=13,所以λ+μ=53,故选D.8.B[解析]向量a=(-2,0),b=(2,1),c=(x,1),所以3a+b=(-6,0)+(2,1)=(-4,1),因为3a+b与c共线,所以x+4=0,解得x=-4,故选B.9.C[解析]在直线方程2x+3y=1中,令x=0,得y=13,即B0,13,令y=0,得x=12,即A12,0,由{2x+3y=1,x+y=0,解得{x=−1,y=1,所以C(-1,1),因为⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(-1,1)=λ(12,0)+μ0,13,得{-1=12λ,1=13μ,所以λ=-2,μ=3,故选C.10.A[解析]设M为BC的中点,则⃗AG=23⃗AM=13(⃗AB+⃗AC)=131h⃗AP+1k⃗AQ,所以13h+13k=1,且h>0,k>0,所以16h+25k=(16h+25k)13h+13k=1341+16hk+25kh≥1341+2❑√16hk·25kh=27,当且仅当4h=5k时取等号,所以选A.11.7[解析]∵⃗AD=⃗AB+⃗BD=(m+2,n+1),⃗AD=(3,8),∴m+2=3,n+1=8,∴m=1,n=7,∴mn=7.12.15°或75°[解析]因为a∥b,所以34×13-cosα·sinα=0,则sin2α=12,因为α为锐角,故α为15°或75°.13.k≠1[解析]若点A,B,C能构成三角形,则向量⃗AB,⃗AC不共线.因为⃗AB=⃗OB-⃗OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),⃗AC=⃗OC-⃗OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.14.1[解析]由平面向量的运算可知⃗BD=⃗AD-⃗AB,而⃗AD=2⃗AE,⃗AB=⃗AH+⃗HB=2⃗AF-⃗AE,所以⃗BD=⃗AD-⃗AB=2⃗AE-(2⃗AF-⃗AE)=3⃗AE-2⃗AF,注意到⃗AE,⃗AF不共线,且⃗BD=x⃗AE+y⃗AF,即x⃗AE+y⃗AF=3⃗AE-2⃗AF,所以x=3,y=-2,所以x+y=1.15.[3❑√510,+∞)[解析]以O为坐标原点,分别以⃗OB1,⃗OB2的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则B1(2,0),B2(0,1),由⃗OP=⃗OB1+⃗OB2得P(2,1).设M(x,y),由|⃗MB1|=|⃗MB2|得(x-2)2+y2=x2+(y-1)2,即4x-2y-3=0,所以|⃗PM|2=(x-2)2+4x-32-12=5x2-14x+414=5x-752+920≥920,即|⃗PM|≥❑√920=3❑√510,即|⃗PM|的取值范围是3❑√510,+∞.16.(1,❑√2][解析]因为在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,2),所以⃗AP=x⃗AB+y⃗AD=x(3,0)+y(0,2)=(3x,2y).因为|⃗AP|=1,所以(3x)2+(2y)2=1.令2y=sinθ,3x=cosθ,θ∈0,π2,则3x+2y=cosθ+sinθ=❑√2sinθ+π4,因为θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈❑√22,1,所以3x+2y∈(1,❑√2].
