专题06解密数量积的问题一、单选题1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2【答案】C【解析】根据正四面体的的棱长为，画出图形如下：故选2．已知向量、夹角为，且，，若，且，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C解得，故选：C3．已知是边长为的等边三角形，点在边上，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】是边长为的等边三角形，且，，故选B.4．已知圆是外接圆,其半径为1,且,则A.B.C.D.【答案】B5．平行四边形中，,点P在边CD上，则的取值范围是（）A.[-1,8]B.C.[0,8]D.[-1,0]【答案】A【解析】 ,，∴，∴，A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为轴，以AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，∴A(0,0),B(4,0),，设，∴，∴，设，∴在上单调递减,在上单调递增，结合二次函数的性质可知：函数的最小值为：，函数的最大值为，则的取值范围是[1,8]−，本题选择A选项.点睛：在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．6．在直角三角形中，角为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（）A.B.C.D.【答案】B7．设，且，则在上的投影的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】法1：因为，所以三点共线.如图（1），当在之间时（含两点），在的投影的取值范围是；如图（2），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当接近于平行时，在的投影无限接近于）；如图（3），当在的延长线上时（不含点），在的投影的取值范围是（当接近于平行时，在的投影的无限接近于）；综上，在的投影的取值范围是.点睛：处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题.二、填空题8．已知是边长为2的等边三角形，为边的中点，则__________．【答案】3【解析】 E为等边三角形ABCBC的中点，∴∠BAE=30°，AE=,故答案为39．已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_______.【答案】10．在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．【答案】-9【解析】 ，∴，∴，即．以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设，所以．所以当时有最小值，此时．答案：点睛：数量积的计算有两种不同的方式，一是根据定义计算，二是用向量的坐标计算，其中用坐标进行运算可使得数量积的计算变得简单易行．在本题的解法中通过建立坐标系将数量积的最小值问题转化为函数的最值问题处理，体现了转化方法在数学解题中的应用．11．已知是以为直径的圆上的两点，且,则的值为__________．【答案】2112．在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足，则=_____．【答案】 ，∴，在中，， 点满足，∴，∴，∴，∴.13．在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(1,0)，P是x轴上任意一点，平面上点M满足：对任意P恒成立，则点M的轨迹方程为______．【答案】x＝014．已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是_____________.【答案】【解析】以所在直线为轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图:由题意可知，，，，设，则故，当时取得最小值点睛：本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表示，设出点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于的一个一元二次函数的最值问题即可15．已知正方形的边长为2，则______________.【答案】4【解析】 为正方形∴故答案为16．在△ABC中，ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值为_____．【答案】17．若等边的边长为2，平面内一点满足，则________.【答案】【解析】由于＝－＝－，＝－＝，故，＝－×22－×22＋×2×2×cos60°＝－.18．已知圆的方程为，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为、，则的取值范围为__________．【答案】【解析】点睛：本题考查...
