第七节抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2014·安徽卷)抛物线y＝x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解析： y＝x2，∴x2＝4y.∴准线方程为y＝－1.答案：A4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x解析：因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.所以抛物线方程为y2＝±4x.答案：D一个结论焦半径：抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋.两种方法1．定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线方程．2．待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．若焦点在x轴上，设为y2＝ax(a≠0)，若焦点在y轴上，设为x2＝by(b≠0)．四点注意1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．求抛物线的标准方程，要由焦点位置(开口方向)判断是哪一种标准方程．3．重视应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题，以简化运算．4．直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切．一、选择题1．抛物线x2＝y的焦点坐标为()A.B.C.D.解析：抛物线x2＝y的焦点坐标是.答案：D4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|＝××2＝2.答案：C5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.B．2C.D．3解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.答案：B二、填空题6．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，所以m＝8.此时抛物线方程为y2＝8x；当m<0时，准线方程为x＝－＝4，所以m＝－16.此时抛物线方程为y2＝－16x.所以所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.答案：y2＝8x或y2＝－16x7．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1，4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，点P为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|的值为________．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝y1＋1＋y2＋1＝y1＋y2＋2＝8＋2＝10.答案：108．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝________．解析：由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，所以p＝2，所以y2＝4x.所以y＝4×2，所以y0＝±2.所以|OM|＝＝＝2.答案：2三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．解：由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，且AN＝. |ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)． N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.10．已知抛物线y2＝2px(p...
