专题47圆的方程1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案：A2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2B.C．1D.解析：圆心C(1，－2)，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝.答案：D3．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6B．25C．26D．36解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.答案：D4．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－B．3＋C．3－D.答案：A5．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)解析：圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.∴a－b＝2＋a<4.答案：A6．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．5B．10C．15D．207．若实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值为__________。解析：方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆，设x－2y＝m，则圆心到直线x－2y－m＝0的距离d＝∈[0，]，解得m的最大值为10。答案：108．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________。解析： 圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴由垂径定理得圆心在y＝－3这条直线上。又已知圆心在2x－y－7＝0上，∴解得即圆心C(2，－3)，半径r＝|AC|＝＝，∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5。答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝59．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°。而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6。所以所求圆的方程为x2＋y2＝36。答案：x2＋y2＝3610．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆。(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围。解析：(1)由(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1。(2) r＝＝，∴当t＝∈时，rmax＝。此时圆的方程为2＋2＝。(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0时，点P在圆内，∴8t2－6t＜0，即0＜t＜。11．已知实数x，y满足x2＋y2－2y＝0。(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围。解析：由题意可知点(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上，(1)方法一：圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1， －≤2cosθ＋sinθ≤，∴1－≤2x＋y≤＋1。方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时＝1。∴b＝1±，∴1－≤2x＋y≤1＋。(2) x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1，∴x＋y＋c的最小值为1－＋c，∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－＋c≥0，∴c的取值范围为c≥－1。12．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切。(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围。13．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．解：法一依题意，点P的坐标为(0，m)，因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)，圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.法二设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.14．已知圆x2＋y...
