第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算题号123456答案1.若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a∥b，则()A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝解析：因为a∥b，所以＝＝，所以x＝，y＝－.故选C.答案：C2．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，若ka－b与b垂直，k∈R，则k＝()A．5B．6C．7D．8解析：ka－b＝(－k－1，－2，k－3)，∵ka－b与b垂直，∴(ka－b)·b＝0.∴1×(－k－1)＋2×(－2)＋3(k－3)＝0.∴k＝7.故选C.答案：C3．已知△ABC的三个顶点分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A.B.C.D.解析：BC中点坐标为D，得|AD|＝＝.故选D.答案：D4．点P(1，2，3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝()A.B．2C．2D.解析：∵P1(－1，2，－3)，P2(1，－2，3)，∴|P1P2|＝＝2.故选B.答案：B5．a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则a＋b与a－b的夹角为()A．0°B．30°C．60°D．90°解析：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．故选D.答案：D6.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B.C．1D.解析：∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－.∴|BD|＝.故选D.答案：D7．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．解析：c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·(2b)＝－2得(0，0，1－x)·(2，4，2)＝－2，即2(1－x)＝－2，解得x＝2.答案：218．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．解析：设M(0，y，0)，则∵|MA|＝|MB|，∴＝，解得y＝－1，∴M(0，－1，0)．答案：(0，－1，0)9．若AB＝(2，2，－2)，BC＝(1，y，z)，BP＝(x－1，y，1)，且AB∥BC，BP⊥AB，则实数x，y，z的值分别为________．解析：∵AB∥BC，∴＝＝－.∴z＝－1，y＝1.∵BP⊥AB.∴BP·AB＝0.∴2(x－1)＋2y－2＝0.∴x＝1.答案：1，1，－110．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．解析：向量a在向量b的方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|＝＝.答案：11．在yOz平面上，求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距离的点．解析：设yOz平面上点M(0，b，c)，依题意|AM|＝|BM|＝|CM|，得解得b＝1，c＝－2，∴所求点为M(0，1，－2)．12．如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值．解析：由已知A(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，a，a)，B(0，0，a)，∵点P为AB的中点，∴点P坐标为，设Q(0，a，z)，则PQ＝，∴当z＝时，PQ取得最小值为a，此时Q为CD的中点．13．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝.(1)证明：A1C⊥平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．解析：(1)由已知可如图建立空间直角坐标系，则2A1(0，，)，C(0，0，0)，A(0，0，)，B1(1，，0)，C1(0，，0)．∴A1C＝(0，－，－)，AB1＝(1，，－)，AC1＝(0，，－)，∴A1C·AB1＝0，A1C·AC1＝0，∴A1C⊥AB1，A1C⊥AC1，又∵AB1∩AC1＝A，∴A1C⊥平面AB1C1.(2)设E(a，0，b)，∵D，∴DE＝，设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(0，1，1)．要使DE∥平面AB1C1，则只要n·DE＝0，∴b＝，a＝，即E为AB中点．∴当E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.3
