专题限时集训(二)解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2018·天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝，a＝3，∠C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos120°即AC2＋3AC－4＝0解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]2.(2018·合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆的面积为()A．4πB．8πC．9πD．36πC[由bcosA＋acosB＝2，得＋＝2化简得c＝2，又sinC＝，则△ABC的外接圆的半径R＝＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.]3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积()A．3B.C.D．3C[因为c2＝(a－b)2＋6，C＝，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为absinC＝3×＝，选C.]4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为()图216A．10米B．10米C．10米D．10米D[在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理得＝，解得BC＝10.在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝10×tan60°＝10.]5．(2018·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形A[由m∥n得acos＝bcos，即sinAcos＝sinBcos化简得sin＝sin，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．]6．如图217，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA＝()图217A.B.C.D.C[ DE＝2，∴BD＝AD＝＝. ∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cosA＝，故选C.]7．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图218所示，则小区的面积为()图218A.km2B.km2C.km2D.km2D[如图，连接AC，根据余弦定理可得AC＝，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，从而△ADC为等腰三角形，且∠ADC＝150°，设AD＝DC＝x，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小区的面积为×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．]8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为()A．2B.C.D.D[由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB＜∠ACB＝180°－A－B＝120°－B＜120°，所以cos∠DCB＞－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.]二、填空题9．如图219，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A，B两点相距130m，则塔的高度CD＝________m.图21910[分析题意可知，设CD＝h，则AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度为10m．]10．(2018·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．6[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，则＝，又sinC＞0，则cosC＝＝，又C为三角形的内角，则sinC＝＝＝，则△ADC的面积为AC·CDsinC＝×4×3×＝6.]11．(2018·济南模拟)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．6[在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.]12．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cosA＝________.[由题意知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，即＝，化简得＝又＝，所...
