专题四数列第一讲等差数列与等比数列素能演练提升六SUNENGYANLIANTISHENGLIU掌握核心,赢在课堂1.(2014重庆高考,理2)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am,ak,an成等比数列,故选D.答案:D2.(2014河南洛阳高三统考,5)已知数列{an}是等差数列,且a3+a6=5,数列{bn}是等比数列,且b5=,则b2·b8=()A.1B.5C.10D.15解析:由等差数列的通项公式知a3+a6=2a1+7d(其中d为等差数列{an}的公差),由等比数列的性质知b2b8==a2+5a5=6a1+21d=3(2a1+7d)=3(a3+a6)=15.答案:D3.在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为()A.5B.10C.D.解析:由2an+1=1+2an,得an+1-an=,所以数列{an}是首项为-2,公差为的等差数列.所以S10=10×(-2)+.故选C.答案:C4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且,则等于()A.B.C.D.解析:设a1+a2+a3+a4=A1,a5+a6+a7+a8=A2,a9+a10+a11+a12=A3,a13+a14+a15+a16=A4.∵{an}为等差数列,∴A1,A2,A3,A4也成等差数列.∵,不妨设A1=1,则A2=2,A3=3,A4=4,.故选D.答案:D5.(2014山西四校第二次联考,7)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8>0,且S9<0,则当Sn最大时n的值是()A.8B.4C.5D.3解析:因为>0,<0,所以a4>0,a5<0,即数列{an}的前4项都是正数.所以选B.答案:B6.(2013课标全国Ⅱ高考,理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.答案:C7.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,7)在等比数列{an}中,已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则+…+等于()A.(4n-1)B.(2n-1)C.4n-1D.(2n-1)2解析:由题意知a1=1,公比q=2,因此数列{}是首项为1,公比为4的等比数列.故+…+(4n-1),应选A.答案:A8.(2013北京高考,理10)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.解析:根据等比数列的性质知a3+a5=q(a2+a4),可得q=2.又a2+a4=a1q+a1q3,可求得a1=2,故Sn==2n+1-2.答案:22n+1-29.等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有an+2+an+1-2an=0,则S5=.解析:设等比数列{an}的公比为q,则an+2+an+1-2an=a1·qn+1+a1·qn-2a1·qn-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.故S5==11.答案:1110.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,16)在下面的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为.120.51abc解析:由表格知,第一行构成以1为首项,为公差的等差数列,所以第一行第四个数为,第五个数为3.第三列构成以2为首项,为公比的等比数列,所以a=.同理,b=,c=,所以a+b+c=1.答案:111.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;(2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?解:(1)n=1时,a1=S1=23.n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23符合an=-2n+25,∴an=-2n+25(n∈N*).(2)方法一:∵Sn=-n2+24n,∴n=12时,Sn最大且最大值为144.方法二:∵an=-2n+25,若要Sn达到最大,则需an=-2n+25>0,即n<.∴a12>0,a13<0.故S12最大,最大值为144.12.(2014吉林长春调研,17)设等差数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=3,S5-S2=27.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn,2(an+1+1),Sn+2成等比数列,求正整数n的值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则S5-S2=3a1+9d=27,又a1=3,则d=2.故an=2n+1.(2)由(1)可得Sn=n2+2n,又Sn·Sn+2=8(an+1+1)2,即n(n+2)2(n+4)=8(2n+4)2,化简得n2+4n-32=0,解得n=4或n=-8(舍),所以n的值为4.13.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列,不满足条件;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)=5+n2-n+10,当n=2时,满足此式.综上,Sn=
