第三节坐标系1．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＋ρsinθ＝1的交点为A，B，则|AB|＝________．解析：将ρ＝2sinθ化成直角坐标方程得x2＋y2－2y＝0，将ρcosθ＋ρsinθ＝1化成直角坐标方程得x＋y＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2＋(1－x)2－2(1－x)＝0，即2x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－，故y1＝1－，y2＝1＋，故|AB|＝＝2.答案：22.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为____________．解析：由极坐标方程与普通方程的互化公式知，这两条曲线的普通方程分别为x2＋y2－2y＝0，x＝－1.解得x＝－1，y＝1，即直线与圆相切于点(－1，1)，再化为极坐标得.答案：3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为____________．解析：∵∴代入y＝sinx得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3sin2x′4．在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数a的值为________．解析：分别将直线与曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得y－x＝a及x2＋y2＝2x－4y⇔(x－1)2＋(y＋2)2＝5.根据直线被圆截得弦|AB|＝2，故有()2＋＝5，解得a＝－1或a＝－5.答案：－1或－55．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________．解析：直线方程为x＋y－1＝0，与x轴的交点为，圆的方程为x2＋y2＝a2，把交点代入圆的方程得＋02＝a2，又a＞0，所以a＝.答案：6．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．答案：37．在极坐标系中，已知直线l：ρ(sinθ－cosθ)＝a将曲线C：ρ＝2cosθ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是________．解析：将直线l的极坐标方程ρ(sinθ－cosθ)＝a化为直角坐标方程y－x＝a，曲线C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程x2＋y2＝2x.因为直线l将圆C所围成的区域分成面积相等的两部分，所以圆心(1，0)在直线l上，所以a＝－1.答案：－18．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)与圆ρ＝4cosθ＋4sinθ交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：89．在极坐标系中，A，B分别是直线3ρcosθ－4ρsinθ＋5＝0和圆ρ＝2cosθ上1的动点，则A，B两点之间距离的最小值是________．解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x－4y＋5＝0，圆的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d＝＝，所以A，B两点之间距离的最小值为d－r＝－1＝.答案：10．极坐标方程4ρsin2＝5所表示曲线的直角坐标方程是__________．解析：因为sin2＝，所以原方程变为2ρ(1－cosθ)＝5，即2ρ－2ρcosθ＝5，将互化公式ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入，化简得y2＝5x＋.答案：y2＝5x＋11．在极坐标系中，过点A引圆ρ＝4sinθ的一条切线，则切线长为________．答案：412．极坐标系内，点关于直线ρcosθ＝1的对称点的极坐标为________．答案：13．曲线ρ＝4cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为________．解析：曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，关于直线y＝x对称的方程为x2＋(y－2)2＝4，化为极坐标方程ρ＝4sinθ.答案：ρ＝4sinθ14．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解析：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC|＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.2
