第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±负数没有偶次方根2.两个重要公式①＝(n为偶数)；②()n＝a(注意a必须使有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.（2）指数函数的图象与性质y＝axa>10
0时，y>1；当x<0时，00时，01在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0=¿.（2）¿=______．（3）已知x12+x−12=3，求下列各式的值：①x+x−1；②x2+x−2；③x32−x−32x12−x−12.【答案】（1）7（2）52（3）－（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）¿，¿¿．（3）①因为x12+x−12=3，所以(x12+x−12)2=x+2+x−1=9,即x+x−1=7.②因为x+x−1=7所以(x+x−1)2=x2+2x⋅x−1+x−2=x2+2+x−2=49，即x2+x−2=47.③x32−x−32x12−x−12=(x12)3−(x−12)3x12−x−12=(x12−x−12)(x+1+x−1)x12−x−12=x+1+x−1=8.【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(❑√3+❑√2)2015×(❑√3−❑√2)2016＝_________________________________.【答案】❑√3−❑√2【解析】(❑√3+❑√2)2015×(❑√3−❑√2)2016=[(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)]2015×(❑√3−❑√2)=❑√3−❑√2.故答案为：❑√3−❑√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(❑√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4+1❑√2−1−❑√2=12−4×16+(❑√2−1)−❑√2=12−4×16+(❑√2+1)−❑√2=−1252，故答案为−1252.4.已知x＋x－1＝3，则的值为．【答案】2【解析】＝x＋2＋x－1＝5，＝(3－1)＝2.5.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，则＝.【答案】【解析】由已知得，a＝3＋，b＝3－，所以a＋b＝6，ab＝4，所以2＝＝＝.因为a>b>0，所以>，所以＝.6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为．【答案】27【解析】 2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3， 9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.7．已知a－＝3(a>0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为．【答案】11＋【解析】由a－＝3，得2＝9，即a2＋－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a>0，所以a＋a－1＝.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋.考向二指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1【答案】C【解析】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到a2－3a＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【套路总结】指数函数，指数函数的需要同时满足①②系数为...
