热点跟踪训练51．(2020·河北唐山模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1，0)，过M作直线l1的垂线，交MN的中垂线于点P，记P点的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y＝kx＋m与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．解：(1)连接PN.由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于到直线l1的距离，故P点的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)易知k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，则x1＋x2＝.所以x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，即D.因为直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，所以|DE|2＝6，DE⊥l2，从而＋＝6，－3＝－2，整理可得＝2，即k＝±.所以m＝0，故l2的方程为y＝x或y＝－x.2．(2020·湖南湘潭模拟)已知点F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l斜率的取值范围．解：(1)由题可知，椭圆的另一个焦点为(－，0)，所以点M到两焦点的距离之和为＋＝4，所以a＝2.又因为c＝，所以b＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.所以而kOA＋kOB＝＋＝＝2k＋＝2k＋＝，由kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1.所以由m2≥0得k≥－.又因为Δ>0，即16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0.综上，k∈∪(1，＋∞)．3．设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.1(1)求点P的轨迹方程E；(2)过F(1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F(1，0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：＋为定值．(1)解：设P(x，y)，则N(x，0)，NP＝(0，y)，又因为NM＝NP＝，所以M，由点M在椭圆上，得＋＝1，即＋＝1.即点P的轨迹方程E为＋＝1.(2)证明：当l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝，所以＋＝.当l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，所以＋＝.当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则l2的方程为y＝－(x－1)．联立得消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝＝，同理可得|CD|＝，所以＋＝＋＝，为定值．综上，＋为定值．4.如图所示，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.(1)解：设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)．因为|MN|＝3，所以r2＝＋22＝.所以r＝，圆C的方程为(x－2)2＋＝.(2)证明：把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，即点M(0，1)，N(0，4)．①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.联立方程消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.所以∠ANM＝∠BNM.综合①②知∠ANM＝∠BNM.5．已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直2线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．(1)解：因为直线过(a，0)和(0，1)，所以直线的方程为x＋ay－a＝0，因为直线与圆x2＋y2＝相切，所以＝，解得a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，解得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由根与系数关系得，x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1...
