每日一题规范练(第四周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω＞0)的最小正周期为π.(导学号55410158)(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性．解：(1)因为f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2，于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋(k∈Z)，故函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.由x∈，取k＝0，得x∈，所以f(x)在上的单调增区间为.由2kπ＋＜2x－≤2kπ＋π，且x∈，取k＝0，得x∈，所以f(x)在上的单调减区间是.[题目2](本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，a10＝4a3，a4＝3a1＋7.(1)求通项公式an；(2)若bn＝an－2an＋2，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2(n∈N*)．(2)bn＝an－2an＋2＝3n－2－23n＝3n－2－8n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋4＋7＋…＋3n－2)－(81＋82＋…＋8n)＝－(1－8n)＝＋(1－8n)．[题目3](本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．文理科是否获奖文科生理科生总计获奖5不获奖总计(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写题中的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？解：(1)a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(2)文科生人数为200×＝50，获奖学生人数为200×(0.15＋0.05)＝40，故2×2列联表如下：文理科是否获奖文科生理科生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200因此K2＝＝≈4.167＞3.841.所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．[题目4](本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离．(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1.又AD∥BC，所以NH∥AM且NH＝AM，所以四边形AMNH为平行四边形，所以MN∥AH，又AH⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解：连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD＝2，AC＝2，所以S△PAC＝PA·AC＝4，所以S△AMC＝AM·CD＝，由VMPAC＝VPAMC，得S△PAC·h＝S△AMC·PA，即4h＝×4，所以h＝，所以点M到平面PAN的距离为.[题目5](本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M(m，0)作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A、C两点，点P，且PA·PC为定值．(导学号55410159)(1)求椭圆E的方程；(2)求m的值．解：(1)因为y2＝－4x的焦点为(－1，0)，所以c＝1.又因为e＝，所以a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由题意，k存在且不为零，设直线l方程为y＝k(x－m)，A(x1，y1)，C(x2，y2)．由消y，得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2k2m2－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.PA·PC＝＋y1y2＝＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2m2＝＋.因为PA·PC为定值，所以3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋2＝0，所以m1＝1，m2＝，此时点M(m，0)在椭圆E内部，故m的值为1或.[题目6](本小题满分12分)设f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＞x2，都有m[g(x1)－g(x2)]＞x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)x＜0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，故切线方程是y＋＝(x＋1)，即x－y＋＝0.(2)F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2(x＞0)，F′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，则t′(x)＝－1.令t′(...
