第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算Ｋ一、复数的有关概念1．复数的概念．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．5．复数的模．向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．6．复数的几何意义．(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ
二、复数代数形式的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1．z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i
2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
＝＝＋i(c＋di≠0)．三、常见运算规律1．i的幂运算：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(其中n∈N)．2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2
3．(1±i)2＝±2i
＝i，＝－i
5．1的立方根是1，－＋i，－－i；－1的立方根是－1，＋i，－i
6．设ω＝－＋i，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0
四、复数运算所满足的运算律1．加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1
2．加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3；(2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1
