第五节数系的扩充、复数的概念与四则运算Ｋ一、复数的有关概念1．复数的概念．形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．复平面．建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．5．复数的模．向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．6．复数的几何意义．(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.二、复数代数形式的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1．z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2．z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.3.＝＝＋i(c＋di≠0)．三、常见运算规律1．i的幂运算：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(其中n∈N)．2．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.3．(1±i)2＝±2i.4.＝i，＝－i.5．1的立方根是1，－＋i，－－i；－1的立方根是－1，＋i，－i.6．设ω＝－＋i，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.四、复数运算所满足的运算律1．加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1.2．加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．乘法运算律：(1)z1(z2z3)＝(z1z2)z3；(2)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3；(3)(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3.五、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP1，OP2，那么，以OP1，OP2为两1边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1＋z2的和所对应的向量．2．复数减法的几何意义：两个复数的差z1－z2与连接向量Oz1，Oz2的终点，并指向被减数的向量z2z1对应．六、几个重要的结论1．|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．2．z·z＝|z|2＝|z|2.3．若z为虚数，则|z|2≠z2.,Ｋ1．设复数z1＝1－3i，z2＝1－i，则z1＋z2在复平面内对应的点在(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题意得，z1＋z2＝2－4i，它在复平面内对应点的坐标为(2，－4)，在第四象限，故选D.2．复数z满足z＝(2＋i)(1－i)，则z的实部是(B)A．－3B．3C．－1D．1解析：依题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，则复数z的实部是3，故选B.3．设i为虚数单位，则1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝1．解析：根据in(n∈N*)的周期性知，－i＋i2－i3＋i4＝－i5＋i6－i7＋i8＝…＝0，∴1－i＋i2－i3＋i4－…＋i20＝1.4．若(1－2i)i＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝2．解析：由(1－2i)i＝i－2i2＝2＋i＝a＋bi，根据复数相等的条件可得a＝2，b＝1，∴ab＝2.高考方向1.复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算是近几年高考命题的热点.2.题型以选择题、填空题为主，属低档题.1．(2013·江西卷)已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(C)A．－2iB．2iC．－4iD．4i解析：由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝＝－4i.2．(2013·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝1＋2i．2解析：由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，∴∴∴a＋bi＝1＋2i.1．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝(A)A．－3B．－3或1C．3或－1D．1解析：依题意得解得m＝－3，故选A.2．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2－i(其中，i是虚数单位)，如果点A关于实轴的对称点为点B，则向量OB对应的复数是(C)A．－2－iB．－2＋iC．2＋iD．1－2i解析：由题意可得点A的坐标为(2，－1)，点A关于实轴的对称点为点B(2，1)，则向量OB对应的复数是2＋i，故选C.课时作业1．(2015·全国卷Ⅱ，理2)若a为实数且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(B)A．－1B．0C．1D．2解析：由题知解得a＝2，故选B.2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(B)A．1B．2C．1或2D．－1解析：由题知解得a＝2，故选B.3．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚...
