课时15导数及其运算模拟训练（分值：30分建议用时：20分钟）1．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．2B．－C．4D．－【答案】C【解析】由已知得g′(1)=2,又f′(x)＝g′(x)+2x,所以f′(1)＝g′(1)+2=4.2．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－3xB．y＝－2xC．y＝3xD．y＝2x【答案】A3．若P、Q是函数f(x)＝x2－x(－1≤x≤1)图象上任意不同的两点，那么直线PQ的斜率的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,1)C．(0,3)D．(－4,2)【答案】A【解析】由y′＝2x－1(－1≤x≤1)，得A点处曲线切线斜率k1＝－3，B点处曲线切线斜率k2＝1.又由于P，Q是f(x)＝x2－x(－1≤x≤1)上任意不同的两点，结合右面图象分析得直线PQ的斜率的取值范围为(－3，1)，故选A.4．如图，曲线y＝f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系满足()A．y＝y′B．y＝－y′C．y＝y2D．y2＝y′【答案】D5．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）A．B.C．D．【答案】A【解析】∵，∴f′(x)＝2x-b.∴f′(1)＝2-b.又的图像在点处的切线与直线平行，∴2-b＝3，∴b＝-1.所以，则=，=.6.过曲线上一点作曲线的切线，若切点的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵y＝x2-2x＋3，∴y′＝2x-2.∵切点的横坐标的取值范围是∴曲线在点P处的切线斜率-1≤k≤1.∴切线的倾斜角的取值范围是7．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为________．【答案】－2≤b≤2【解析】由导函数的几何意义知，切线的斜率k＝f′(x)＝x2＋2bx＋4≥0恒成立⇔Δ＝4b2－16≤0⇔－2≤b≤2.8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.【答案】6【失分点分析】在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0.9直线是曲线的一条切线，则符合条件的一个的值为．【答案】1【解析】,设切点为则切线方程为，即与对比知，所以，，显然是其中一个满足的结果，所以【规律总结】（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.10.已知的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，若，求的值.【解析】由，得，则，则在点处的切线方程为，与轴的交点的坐标为（，0），则得，所以数列以为首项，以为公比的等比数列，，所以的值是.11．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？个交点(－2,32)，.【规律总结】①若直线与曲线相切，该切线与曲线不一定只有一个切点是它们的公共点，还可能有其它的公共点．②求切线方程一般要先求出切点坐标．12.设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【解析】(1)f′(x)＝a－，于是解得或[新题训练]（分值：15分建议用时：10分钟）13.(5分)已知函数，且在图象上点处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是（）A．（-1，1）B．C．D．【答案】C14．(5分)已知f(x)=，在区间[0,2]上任取三个数,均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得到（舍去）所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，则，，由题意知，①，，得到②，由①②得到m＞6为所求。因此选C
