数列解答题的常见题型及解题策略VIP专享VIP免费

数列解答题的常见题型及解题策略山东省临沭县第二中学（276700）刘康平数列部分在高考中约占16分左右，其解答题是每年必考的内容，数列作为数学的传统保留内容，对高考有着极大的吸引力，以其作为载体考察学生的分析问题解决问题的能力，重要的数学思想方法。所以掌握数列的常见题型及解题策略显得尤为重要。常见题型一：等差、等比数列的通项公式，前n项和公式和性质的基本运算本题型往往难度不是很大，考察学生对数列基本知识的掌握程度，以及等差，等比两类基本数列的融合考察，前n项和的求法，性质的灵活运用。所以掌握好数列的基本知识是解决问题的关键，也是其他题型考察的基石。解题策略：熟练掌握等差、等比数列的通项公式的求法，前n项和的求法，以及它们的性质是正确答题的关键。例1．已知等差数列的前项和为，，且，．⑴．求数列的通项公式；⑵．求证：．分析：本题的关键是正确求出等差数列的通项公式及前n项和，进而求的通项公式。解：设等差数列的公差为，由，得，即，得，又，得，解得：，所以，．⑵．由，得：所以评注：本题从数列的基础知识入手,求通项公式和前n项和问题，以及裂项法求数列前n项和，是一个普通的好题，方法思想都值得思考。常见题型二：和的递推关系型问题解题策略：和的递推关系型问题抓住本质问题进行变形，常用的方法是少写一项作差，注意首项是否满足要求。例2．设数列的各项都是正数，且对任意其中Sn为数列的前n项和。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立。分析：本题的入手点在于对的变形应用，所以和的递推关系的应用就很重要。第3问的引起讨论的原因是n是奇数还是偶数。解（I）由已知，当n=1时，，又当①②，由①－②得，当n=1时，a1=1适合上式.（Ⅱ）由（I）知，③当，④由③－④得，数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1.∴an=n.（Ⅲ） an=n，∴bn=3n+(－1)n－1λ·2n。要使bn+1>bn恒成立，bn+1－bn=3n+1－3n+(－1)nλ·2n+1－(－1)n－1λ·2n=2×3n－3λ(－1)n－1·2n>0恒成立即恒成立.（i）当n为奇数时，即λ<恒成立，又的最小值为1，∴λ<1.（ii）当n为偶数时，即λ>－恒成立，又－的最大值为，∴λ>.即<λ<1，又≠0，λ为整数，∴λ=－1，使得对任意，n∈N*，都有.评注：通过本题考察数列的基本知识及通项与前n项的关系，运用数学知识分析问题解决问题的能力，解决本题的突破口在利用已知条件上。只要解决了第一问，其余的就好办了，在题目的最后的讨论是本题的一个失分点。常见题型三：探索型问题数列中的探索型问题很多，多以探索数据的规律，用数列的方法解决问题，考察学生的思维能力，分析问题的能力。题型往往与杨辉三角类似的较多，题目灵活性强，但是不算很难。在做题时抓住变化的本质往往能有效的解决问题。解题策略：认真审题从各个方面找出数据变化的规律，并结合数列表示这种规律是解题的关键。例3．把正奇数数列{}21n中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911—————————设aijNij(*)，是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数。（I）若amn2005，求mn，的值；（II）已知函数fx()的反函数为fxxn138()()x0，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列{()}fbn的前n项和Sn。分析：解决本题的关键是理清正奇数的排列顺序，特点以及认真审题。解：（I）三角形数表中前m行共有12312…mmm()个数，第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第mm()12项。故第m行最后一个数是212112mmmm()因此，使得amn2005的m是不等式mm212005的最小正整数解。mm212005得mm220060mm118024217921218924445于是，第45行第一个数是44441219812n200519812113（II）fxxyxn1380()()，xyn()123。故fxxxn()()()1203第n行最后一个数是nn21，且有n个数，若将nn21看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故bnnnnnnn()()()231122。fbnnnnn()()121233故Sn...