高考数学一轮复习 课时规范练43 空间几何中的向量方法 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课时规范练43空间几何中的向量方法基础巩固组1.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.B.C.D.33.(2018辽宁本溪二模,7)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是()A.B.C.D.4.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°5.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.6.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.综合提升组8.(2018安徽定远调研,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF=BC,A1E=A1A,则四面体OEBF的体积为()A.B.C.D.9.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ.当∠APC为锐角时,λ的取值范围是.10.(2019四川成都一模,19)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,AD􀱀BC,AD=AE=1,∠ABC=60°,EF􀱀AC.(1)证明:AB⊥CF;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.11.(2018河北衡水模拟二,18)如图所示,CC1⊥平面ABC,平面ABB1A1⊥平面ABC,四边形ABB1A1为正方形,∠ABC=60°,BC=CC1=AB=2,点E在棱BB1上.(1)若F为A1B1的中点,E为BB1的中点,证明:平面EC1F∥平面A1CB;(2)设=λ,是否存在λ,使得平面A1EC1⊥平面A1EC?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.12.(2018河北衡水中学适应性考试,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形A1C1CA为菱形,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AC=4,AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABB1A1,Q在线段AC上移动,P为棱AA1的中点.(1)若Q为线段AC的中点,H为BQ中点,延长AH交BC于D,求证:AD∥平面B1PQ;(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为,求点P到平面BQB1的距离.创新应用组13.(2018江西南昌七模,18)如图,四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形.若PA=2,且PA与底面ABCD所成角的正切值为.(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;(2)E是线段CD上一点,记=λ(0<λ<1),是否存在实数λ,使二面角P-AE-C的余弦值为?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.14.(2018河南信阳二模,19)在三棱锥A-BCD中,AB=AD=BD=2,BC=DC=,AC=2.(1)求证:BD⊥AC;(2)点P为AC上一动点,设θ为直线BP与平面ACD所形成的角,求sinθ的最大值.参考答案课时规范练43空间几何中的向量方法1.C DD1∥AA1,=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.2.B两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=|·n0|=.3.D以O为原点,以、和为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.由题可知O(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(-1,2,0),则=(0,0,2),=(-1,2,0), M是PC的中点,∴M-,1,1,=-,-1,1.设平面PCO的法向量n=(x,y,z),直线BM与平面PCO所成角为θ,则可取n=(2,1,0),sinθ=|cos<,n>|===.故选D.4.C 两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角与相等或互补, cos===,故=45°.故两平面所成的二面角为45°或135°,故选C.5.30°如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P.则=(2a,0,0),=,=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>===.∴<,n>=60°,∴直线BC与平面PAC所成角为90°-60°=30°.6.证明(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0)...