课时跟踪训练(五十三)直线与圆、圆与圆的位置关系[基础巩固]一、选择题1．(2017·广东汕头质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－[解析] 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1,0)．又 直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.[答案]D2．(2017·北京东城期末)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[解析]过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. A，B两点的横坐标之和等于3，∴＝3.解得k＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B.[答案]B3．(2017·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝4xC．y2＝±8xD．y2＝8x[解析] 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，∴直线l的方程为y＝2. 直线l与y轴的交点为A，∴△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.∴抛物线的方程为y2＝±8x，故选C.[答案]C4．(2017·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么∠MFN必是()A．锐角B．直角C．钝角D．以上皆有可能[解析]由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB|＝|BF|.所以△BNF是等腰三角形．因为BN∥OF，所以NF平分∠OFB.同理MF平分∠OFA，所以∠NFM＝90°.故选B.1[答案]B5．(2017·黑龙江七台河期末)已知抛物线C：y2＝－8x的焦点为F，直线l：x＝1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B.若FA＝－3FB，则|AB|＝()A．20B．16C．10D．5[解析]由抛物线C：y2＝－8x，得F(－2,0)．设A(1，a)，B(m，n)，且n2＝－8m. FA＝－3FB，∴1＋2＝－3(m＋2)，解得m＝－3，∴n＝±2. a＝－3n，∴a＝±6，∴|AB|＝＝20.故选A.[答案]A6．(2017·湖北襄阳月考)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝()A．2B．3C.D.[解析]如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故选C.[答案]C7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为__________．[解析]曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.[答案]2二、填空题8．(2018·武汉模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，倾斜角等于45°的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB|＝__________.[解析]由抛物线焦点弦的性质，得|AB|＝＝＝8.[答案]89．(2017·黑龙江绥化期末)设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2BP＝PA，则|AF|＋2|BF|＝________.[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)． P(1,0)，∴BP＝(1－x2，－y2)，PA＝(x1－1，y1)． 2BP＝PA，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)，2∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y2＝16x，得y＝16x1，y＝16x2.又 －2y2＝y1，∴4x2＝x1.又 x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×＝15.[答案]15三、解答题10．(2017·河北沧州百校联盟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|＝3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．[解](1)由抛物线定义可知，|PF|＝2＋＝3，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由y2＝4x，得F(1,0)，∴过点F且倾斜角为...
