升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧1．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A．B．C．D．1解析：选C如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，即x0＝．设M(x′，y′)，由PM＝2MF，得化简可得∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．2．设双曲线＋＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，则此双曲线的方程为()A．x2－5y2＝1B．5y2－x2＝1C．5x2－y2＝1D．y2－5x2＝1解析：选D因为x2＝4y的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，即－＝1，则λ＋＝1，λ＝，所以双曲线的方程为y2－5x2＝1，故选D．3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且PF1·PF2最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1，]B．[，2]C．(0，]D．[2，＋∞)解析：选B设P(x0，y0)，则PF1·PF2＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x－c2＋y＝a2－c2＋y，上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，根据已知－c2≤a2－c2≤－c2，即c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2，所以所求离心率的取值范围是[，2]．4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ＞1)，则λ的值为()A．5B．4C．D．解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝－．设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0．故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－．又λ＞1，解得λ＝4．5．(2015·四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)解析：选D设A，B，M，C(5,0)为圆心，当y1≠－y2时，kAB＝，kCM＝，由kAB·kCM＝－1⇒y＋y＝24，所以M，又r2＝|CM|2＝4＋2＝10＋y1y2，所以(2r2－20)2＝yy，所以y，y是方程t2－24t＋(2r2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r＜4．综上，r的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选C由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1．7．已知双曲线C：－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP·MQ，则λ的取值范围是________．解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，λ＝MP·MQ＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2．因为|x0|≥，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]8．(2017·长春质检)已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则PA·PB的最小值为________．解析：由题意，设A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，则B(－cosθ，－sinθ)，∴PA＝(cosθ－x，sinθ－x－2)，PB(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，∴PA·PB＝(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)(－sinθ－x－2)＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ＝2x2＋4x＋3＝2(x＋1)2＋1，当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，PA·PB取最小值1．答案：19．设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l．过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C，AF与BC相交于点E．若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．解析：由(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∴F，|AB|＝|AF|＝|CF|＝p，可得A(p，p)．易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×＝p2＝3，∴p2＝6． p＞0，∴p＝．答案：10．(2016·河北三市二联)已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与...
