单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018浙江,4)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案B解析 21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∴复数21-i的共轭复数为1-i.2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则()A.⃗AO=2⃗ODB.⃗AO=⃗ODC.⃗AO=3⃗ODD.2⃗AO=⃗OD答案B解析由2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,得⃗OB+⃗OC=-2⃗OA=2⃗AO,即⃗OB+⃗OC=2⃗OD=2⃗AO,所以⃗OD=⃗AO,故选B.3.若非零向量a,b满足a⊥(2a+b),且a与b的夹角为2π3,则|a||b|=()A.12B.14C.❑√32D.2答案B解析 a⊥(2a+b),且a与b的夹角为2π3,∴a·(2a+b)=2a2+a·b=2|a|2-12|a||b|=0.又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=12|b|,∴|a||b|=14,故选B.4.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a2答案D解析如图,设⃗BA=a,⃗BC=b,则⃗BD·⃗CD=(⃗BA+⃗BC)·⃗BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a2=32a2.5.(2018河北衡水中学模拟)已知复数z=a+a+i3-i(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A解析由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,∴z=13a-110−(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,∴-a+310=-12,解得a=2.∴z=52+12i,∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.已知向量⃗OA=(2,2),⃗OB=(4,1),在x轴上存在一点P使⃗AP·⃗BP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案C解析设点P坐标为(x,0),则⃗AP=(x-2,-2),⃗BP=(x-4,-1),⃗AP·⃗BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,⃗AP·⃗BP有最小值1.∴点P坐标为(3,0).7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为()A.-311B.-113C.12D.35答案A解析由题意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ).因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-311,故选A.8.如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则⃗DF=()A.-12⃗AB+34⃗ADB.12⃗AB+23⃗ADC.13⃗AB−12⃗ADD.12⃗AB−34⃗AD答案D解析由题意,得⃗DF=⃗AF−⃗AD,⃗AE=⃗AB+⃗BE. E为BC的中点,F为AE的中点,∴⃗AF=12⃗AE,⃗BE=12⃗BC.∴⃗DF=⃗AF−⃗AD=12⃗AE−⃗AD=12¿)-⃗AD=12⃗AB+14⃗BC−⃗AD.又⃗BC=⃗AD,∴⃗DF=12⃗AB−34⃗AD.9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为π4.若a-λb与b垂直,则实数λ的值为()A.-12B.12C.-❑√24D.❑√24答案D解析因为a-λb与b垂直,且a·b=1×2×cosπ4=❑√2,所以(a-λb)·b=❑√2-4λ=0,解得λ=❑√24,故选D.10.已知向量⃗OB=(2,0),向量⃗OC=(2,2),向量⃗CA=(❑√2cosα,❑√2sinα),则向量⃗OA与向量⃗OB的夹角的取值范围是()A.[0,π4]B.[π4,5π12]C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]答案D解析由题意,得⃗OA=⃗OC+⃗CA=(2+❑√2cosα,2+❑√2sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量⃗OA与向量⃗OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.(2018四川重庆二诊)已知向量a,b满足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.2❑√3C.4D.12答案A解析由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9,所以a·b=|a|2+|b|2-92=|a|2-82.由向量a在向量b方向上的投影为-2,得a·b|b|=|a|2-82=-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.12.已知|⃗OA|=|⃗OB|=2,点C在线段AB上,且|⃗OC|的最小值为1,则|⃗OA-t⃗OB|(t∈R)的最小值为()A.❑√2B.❑√3C.2D.❑√5答案B解析依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|⃗OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(⃗OA-t⃗OB)2=4+4t2-2t×22cos120°=4t2+4t+4=4(t+12)2+3的最小值为3,因此|⃗OA-t⃗OB|的最小值为❑√3.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.已知i为虚数单位,且复数z满足(z-i)(1+i)2+i=2i,则|z|=.答案❑√17解析由(z-i)(1+i)2+i=2i,得z=2i(2+i)1+i+i=1+4i,所以|z|=❑√12+42=❑√17...
