4.圆锥曲线1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2)．(1)求抛物线C的方程；(2)设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|＝|PN|.求直线AB的斜率．解(1)依题意，设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由抛物线C经过点P(1,2)，得a＝4，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)因为|PM|＝|PN|，所以∠PMN＝∠PNM，所以∠1＝∠2，所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以kPA＋kPB＝0.依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2－2(k2－2k＋2)x＋k2－4k＋4＝0.设A(x1，y1)，则1×x1＝，y1＝k(x1－1)＋2＝－2，所以A，以－k替换点A坐标中的k，得B.所以kAB＝＝－1.所以直线AB的斜率为－1.2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)和直线l：x＝4，圆C与直线l相切，并且圆心C关于点F的对称点在圆C上，直线l与x轴相交于点P.(1)求圆心C的轨迹E的方程；(2)过点F且与直线l不垂直的直线m与圆心C的轨迹E相交于点A，B，求△PAB面积的取值范围．解(1)设圆心C(x，y)，则圆心C到点F的距离等于它到直线l距离的一半，∴＝|4－x|，化简得圆心C的轨迹方程为＋＝1.(2)设直线m的方程为x＝ky＋1，由得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，|y1－y2|＝＝12，△PAB的面积S＝×|y1－y2|×|PF|＝18.设t＝k2＋1≥1，则＝＝，设f(t)＝9t＋＋6，t≥1，则f′(t)＝9－＞0，∴f(t)在[1，＋∞)上单调递增，f(t)≥f(1)＝16，∴S≤18＝，即△PAB面积的取值范围为.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．(1)解由题意可得解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 直线l与椭圆交于两点，∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0.设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴k2＝·＝，整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，∴＋m2＝0，又m≠0，∴k2＝，结合图象(图略)可知k＝－，故直线l的斜率为定值．4．已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，直线y＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4.(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值．解(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故＝.所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B点的切线方程为2x＋y＋2＝0.(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0，所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，故|MN|＝·＝2··.又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2··，由Δ＝36k2＋24m>0，得－0，得1
