高考数学 玩转压轴题 专题2.8 欲证不等恒成立结论再造是利器-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题2.8欲证不等恒成立结论再造是利器【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．【典例指引】例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．（I）求直线的方程及m的值；（II）若，求函数的最大值．（III）当时，求证：，取最大值，其最大值为2．（III）证明，当时，例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求证：(参考数据：)．【思路引导】（1）先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论，当时，对恒成立，再令，得到即；又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．点评：解答本题的第一问时，先构造函数，再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当时，对恒成立，令，得到即；进而由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有．从而使得问题巧妙获证．例3．设．（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）即在时，，从而求的参数的范围，，所以函数，所以．（2）由（1）可知当时，即，取，，得，即．累加可证到．所以．（2）设，则，令得．在时，递减；在时，递增．∴最小值为，故，取，，得，即．累加得．∴．故存在正整数，使得．当时，取，有，不符合．故．【同步训练】1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）．（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．【思路引导】（1）由对任意的恒成立，即，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值，即可得到实数的值；（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，令，求和后利用放缩法可得，从而可得的最小值．所以．（2）由（1）知，即，令（，）则，所以，所以，所以，又，所以的最小值为．2．设函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；（3）令，，证明：．【思路引导】（1）当时，求出，由可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）当时，先证明即，，得，则叠加得化简即可得结果．（3）令， ， ，得所以在上单调递减，在上单调递增，所以，得．当时，即．令，得，则叠加得：，即．3．已知函数．（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立的的取值范围，并证明．【思路引导】(1)函数有两个不同的零点，等价于=在（，+）上有两实根，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可得结果；（2）结合(1)可得<，令，，各式相加，化简即可得结果．点评：不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明．4．已知函数与．（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：【思路引导】（1）根据导数几何意义得，即得实数的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题（x>1）最大值，再利用导数研究函数单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系：，再利用（2）的结论，令，则代入放缩得证方法二：（先找必要条件）注意到时，恰有令则在恒成立的必要条件为即（3）不妨设为前项和，则要证原不等式，只需证而由（2）知：当时恒有即当且仅当时取等号取，则即即即成立，从而原不等式获证．点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是...