8.7抛物线[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝2yD．x2＝y答案C解析由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.B．6C．12D．7答案C解析抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20答案A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意可知即∴A，又 点A的抛物线y2＝2px上，∴＝2p×，即p4＝16，又 p>0，∴p＝2，故选B.5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，BC＝λFB(λ>0)，则λ的值为()A.B.C.D．3答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4，点A(4,4)，则直线AB的方程为y＝2(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8)，联立方程组解得B(1，－2)，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.故选D.16．(2017·抚顺一模)已知点P是抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A．2B.C.D.答案D解析点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，此时d1＋d2最小， F(－1,0)，则d1＋d2＝＝.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.答案D解析由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2)．设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝⇒x0＝p.因为y0＝x，所以y0＝.又M点在直线y＝－(x－2)上，即有＝－⇒p＝，故选D.8．(2018·河北邯郸调研)已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若MF·MN＜0，则x0的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(－1,1)答案A解析由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F，根据题意可知，N(x0,0)，x0≠0，MF＝，MN＝(0，－y0)，所以MF·MN＝－y0＜0，即0＜y0＜，因为点M在抛物线上，所以有0＜＜，又x0≠0，解得－1＜x0＜0或0＜x0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点(5，m)到焦点的距离为6，P，Q分别为抛物线C与圆M：(x－6)2＋y2＝1上的动点，当|PQ|取得最小值时，向量PQ在x轴正方向上的投影为()A．2－B．2－1C．1－D.－1答案A解析因为6＝＋5，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.设P(x，y)，则|PM|＝＝＝，可知当x＝4时，|PQ|取得最小值，最小值为－1＝2－1，此时不妨取P点的坐标为(4，－4)，则直线PM的斜率为2，即tan∠PMO＝2，所以cos∠PMO＝，故当|PQ|取得最小值时，向量PQ在x轴正方向上的投影为(2－1)·cos∠PMO＝2－.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为()A．y2＝2xB．y2＝3xC．y2＝4xD．y...
