课后限时集训14变化率与导数、导数的计算建议用时：45分钟一、选择题1．下列求导运算正确的是()A.＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinxB[＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故选项B正确．]2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝()A．1B．－1C．－eD．－e－1D[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝－.故选D.]3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是()A．1秒末B．1秒末和2秒末C．4秒末D．2秒末和4秒末D[ s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]4．(2019·贵阳模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线方程为()A．y＝2x－eB．y＝－2x－eC．y＝2x＋eD．y＝－x－1A[对y＝xlnx求导可得y′＝lnx＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为lne＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.]5．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.B.C.D.C[设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝知切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝＋lnx0－1.由题意可知解得a＝.故选C.]二、填空题6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．x－y－2＝0[根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]7．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．(－∞，0)[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．(1，－1)或(－1,1)[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)．]三、解答题9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．[解](1) y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，∴切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，又 α∈[0，π)，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．[解](1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝xD[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]2．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．4e2C．2e2D．e2D[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k. y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]3．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝__...
