高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算教师用书文北师大版1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim＝lim.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0)．【知识拓展】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[]′＝－(f(x)≠0)．3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)1．(2017·西安一中联考)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A．e2B．eC.D．ln2答案B解析 f′(x)＝lnx＋1，∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是()答案D解析由y＝f′(x)的图像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．(2016·襄阳模拟)函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B.C．1D.答案B解析由f(x)＝excosx，得f′(x)＝excosx－exsinx．所以f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，即倾斜角α满足tanα＝1.根据α∈[0，π)，得α＝.4．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝.答案2解析 f(ex)＝x＋ex，∴令t＝ex，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t(t>0)，得f(x)＝lnx＋x(x>0)．则f′(x)＝＋1(x>0)，故f′(1)＝2.5．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是．答案5x＋y＋2＝0解析因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.题型一导数的计算例1求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；解(1)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(lnx＋)′＝(lnx)′＋()′＝－.(3)y′＝()′＝＝－.思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(1)f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0答案(1)B(2)B解析(1)f′(x)＝2016＋lnx＋x×＝2017＋lnx，故由f′(x0)＝2017，得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)f′(x)＝4ax3＋2bx， f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.题型二导数的几...