第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,2,7,10,13,14,15弦长问题4,5,6,9,12中点弦问题3,8,11基础对点练(时间:30分钟)1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是(A)(A)1(B)2(C)1或2(D)0解析:因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为(B)(A)2(B)2(C)8(D)2解析:根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m>0)上,所以+=1,可得m=2.3.(2016重庆模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),方向向量为d=(1,1)的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是(B)(A)2x±y=0(B)x±2y=0(C)x±y=0(D)x±y=0解析:设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,由消去y得(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1).所以x1+x2==8,y1+y2=8+2m=2,则m=-3,所以=8,所以a=2b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5,|AB|=≤.5.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于(A)(A)(B)1(C)2(D)4解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,则直线y=k(x-2)过点F,联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以+=+===.6.(2016杭州模拟)F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F点的坐标为(2,0),因为MF⊥x轴,M在椭圆上且在第一象限,所以M点的坐标为(2,),设直线MN的斜率为k(k>0),则直线MN的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,因为直线MN与圆x2+y2=1相切,所以原点到直线MN的距离等于半径1,即=1解得k=或k=-(舍去),所以直线MN的方程为x-y-=0,联立圆的方程x2+y2=1可得N点坐标为(,-),所以|NF|==.7.(2015东北三校联考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则双曲线的离心率为.解析:联立得ax2-bx+2a=0,令Δ=0,得b2=8a2,故c2=9a2,e=3.答案:38.(2014高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的倾斜角等于60°,则|PF|等于.解析:在△APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin60°=4,所以|AF|=,又∠PAF=∠PFA=30°,过点P作PB⊥AF于点B,则|PF|==.答案:10.(2016山西模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=±,所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.(2016广东肇庆二模)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.解:(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1,半焦距c=2,所以其虚半轴长b==.又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为M(2,1)为AB的中点,所以所以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即kAB==6.故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.(3)由已...
