第二章基本初等函数、导数及其应用2.12导数与函数的单调性、极值课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2015·高考安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<0解析：根据函数的图像可知，该函数先增再减，再增，且极值点都大于0，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴上．法一：由图像知f(0)＝d＞0.因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0有两个不相等的正实根，所以a＞0，－＝－＞0，所以b＜0.又f′(0)＝c＞0，所以a＞0，b＜0，c＞0，d＞0.法二：由图像知f(0)＝d＞0，首先排除选项D；f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－x1)(x－x2)＝3ax2－3a(x1＋x2)x＋3ax1x2，令x1＜x2，因为x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，所以a＞0，排除C；又c＝3ax1x2＞0,2b＝－3a(x1＋x2)＜0，所以c＞0，b＜0，故选A.答案：A2．(2016·河南豫西名校联考)下面四个图像中，有一个函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)等于()A.B．－C.D．－或解析： f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图像开口向上．根据图像分析，若图像不过原点，则a＝0，f(－1)＝；若图像过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.答案：D3．(2016·上海闸北4月模拟)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有()A．f(0)＋f(2)>2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1)D．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A.答案：A4．设命题p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q：m≥－5，则p是q的________条件．解析：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，可知在(0，＋∞)上f′(x)＝＋4x＋m≥0成立，而当x＝时，min＝4，故只需要4＋m≥0，即m≥－4即可．故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·河南省三市调研)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为__________．解析： f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.答案：－46．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．解析： f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，∴由f′(x)＝0得x1＝－a，x2＝a(a>0)．根据x1，x2列表分析f′(x)的符号和f(x)的单调性和极值点.x(－∞，－a)－a(－a，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－a时，f(x)取极大值2a3＋a，当x＝a时，f(x)取极小值－2a3＋a根据题意得∴a>.答案：7．(2016·荆州质检)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a0，故g(x)为增函数；当－10时，...
