专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用2．导数的几何意义．函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．12.导数的四则运算法则．(1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；(2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)·v(x)＋u(x)·v′(x)；(3)′＝(v(x)≠0)．3．复合函数求导．复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝yu′·ux′．21．函数的单调性与导数的关系．一般地，在某个区间(a，b)内：(1)如果f′(x)＞0⇒函数f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0⇒函数f(x)在这个区间内单调递减；(3)如果f′(x)＝0⇒函数f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数的关系．一般地，对于函数y＝f(x)：(1)若在点x＝a处有f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称x＝a为f(x)的极小值点，f(a)叫函数f(x)的极小值．(2)若在点x＝b处有f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称x＝b为f(x)的极大值点，f(b)叫函数f(x)的极大值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．34判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(4)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(5)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(6)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(√)2．(2015·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是(D)A.B.C.D.解析： f(0)＝－1＋a＜0，∴x0＝0.又 x0＝0是唯一的使f(x)<0的整数，∴即解得a≥.又 a＜1，∴≤a＜1，经检验a＝，符合题意．故选D.53．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为3.解析：f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.5．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x2sinx.答案：(1)y′＝18x2＋4x－3(2)y′＝2xsinx＋x2cosx一、选择题1．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(B)A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析： y＝x2－lnx，∴y′＝x－，由y′≤0，解得－1≤x≤1，又x＞0，∴0＜x≤1.故选B.2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(A)A.B．[－1，0]C．[0，1]D.解析：设P(x0，y0)， y′＝2x＋2，∴曲线C在点P处的切线斜率为2x0＋2.又切线倾斜角范围是，∴斜率范围是[0，1]．即2x0＋2∈[0，1]，∴x0∈.3．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(C)6A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)解析： f′(x)＝＝.则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0.∴b≤－1.4．(2015·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是(A)A．－1是f(x)的零点B．1是f(x)的极值点C．3是f(x)的极值D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上解析：A中－1是f(x)的零点，则有a－b＋c＝0.①B中1是f(x)的极值点，则有b＝－2a.②C中3是f(x)的极值，则有＝3.③D中点(2，8)在曲线y＝f(x)上，则有4a＋2b＋c＝8.④联立①②③解得a＝－，b＝，c＝.联立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，从而可判断A错误，故选A.5．(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是(B)解析：当a＝0时，两函数图象如D所示，当a≠0时，对函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a，令y′＝3a2x2－4ax＋1＝0得：x＝或x＝，y＝ax2－x＋的对称轴为x＝.当a＜0时，由＜＜知B不对，当a＞0时，由＞＞...
