每日一题规范练(第三周)[题目1]在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2C＝－.(1)求sinC；(2)当c＝2a，且b＝3时，求a.解：(1)因为cos2C＝－，即1－2sin2C＝－.又0＜C＜，所以sinC＝＝.(2)由(1)知sinC＝，且△ABC是锐角三角形，所以cosC＝＝.因为c＝2a，＝，所以sinA＝sinC＝，cosA＝.所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝.因为＝，b＝3，所以a＝2.[题目2]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，S3＝14.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3.又S3＝a1＋a2＋a3＝14，所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4.因为S3＝＋4＋4q＝14，所以q＝2或q＝.又q＞1，所以公比q＝2.因此an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.(2)由(1)知an＝2n，所以bn＝an·log2an＝n·2n，所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.两式相减得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2.[题目3]如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点．(1)求证：平面ABED⊥平面GED；(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A-CE-B的余弦值．(1)证明：取DE中点M，连接OM，在三角形BDE中，OM∥BE，OM＝BE.又因为G为CF中点，所以CG∥BE，CG＝BE.所以CG∥OM，CG＝OM.所以四边形OMGC为平行四边形．所以GM∥CO.因为C在平面ABED内的射影为O.所以CO⊥平面ABED.所以GM⊥平面ABED，又因为GM⊂平面DEG，所以平面ABED⊥平面GED.(2)解：因为CO⊥平面ABED，所以CO⊥AO，CO⊥OB，又因为AB＝BE，所以四边形ABED为菱形，所以OB⊥AO.以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.于是A(，0，0)，B(0，1，0)，E(－，0，0)，C(0，0，)，BE＝(－，－1，0)，BC＝(0，－1，)．设平面BCE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，即不妨令z1＝1，则y1＝，x1＝－1，则m＝(－1，，1)．又n＝(0，1，0)为平面ACE的一个法向量．设二面角ACEB大小为θ，显然θ为锐角，于是cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，故二面角A-CE-B的余弦值为.[题目4](2019·河南八市联盟“领军考试”)某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．(1)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和数学期望．解：(1)由统计表知，a＝＝0.5，b＝＝0.3.依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5.设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B(5，0.5)．所以P(Y＝2)＝C×0.52×(1－0.5)3＝＝0.3125.(2)X的可能取值为4，5，6，7，8.P(X＝4)＝0.22＝0.04，P(X＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，P(X＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，P(X＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3，P(X＝8)＝0.32＝0.09，所以X的分布列为：X45678P0.040.20.370.30.09X的数学期望E(X)＝4×0.04＋5×0.2＋6×0.37＋7×0.3＋8×0.09＝6.2(千元)．[题目5]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是＋1，且1，a，4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m，0)求实数m的取值范围．解：(1)由于1，a，4c成等比数列，所以1×4c＝2a2，即a2＝2c.①又a＋c＝＋1.②联立①②得a＝，c＝1.则b2＝a2－c2＝1.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.可得线段AB的中点为N.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.所以m＝＝∈.综上所述，m的取值范围为.[题目6](2019·衡水联考)已知函...
