弹性力学-第5章——用差分法及变分法解平面问题[]VIP免费

弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法和(变分法)就是沿用较久的两种数值解法。所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。(定义)(定义)§5-1差分公式的推导我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，如图5-1。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于x轴的一根网线上，例如在3-０-１上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：...)(!31)(!21)(3003320022000xxxfxxxfxxxfff图5-1xy我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：)()(!21)(20022000bxxxfxxxfff在结点３，x=x0-h；在结点1，x=x0+h。代入(b)得：)(20222003cxfhxfhff)(20222001dxfhxfhff联立（c）、（d），解得差分公式：)1(2310hffxf图5-1xy)2(22031022hfffxf同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：)4(22)3(2042022420hfffyfhffyf以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：)5()]()[(417586022ffffhyxf图7-2yx··)]()(46[1)6()]()(24[1)]()(46[112104204044876543210402241193104044fffffhyffffffffffhyxffffffhxf差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。§5-2应力函数的差分解当不计体力时，平面问题中的应力分量可以用应力函数的二阶导数表示：如果在弹性体上织成如图5-2所示的网格，应用差分公式就可以把任一结点处的应力分量表示成为：)()(41)(2)(1)(2)(1)(867520200312022004220220hyxhxhyxyyxyxxyxyyx22222,,(a）（b）图5-2yx··可见，只要已知各结点处的值，就可以求得各结点处的应力分量。对于弹性体边界以内的每一结点，都可以建立这样一个差分方程。但是对于边界内一行（距边界为）的结点，差分方程中还将包含边界上各结点处的值和边界外一行的虚结点的值。因此必须将网格扩展到边界外，假想在边界外还有一行结点。先算出边界上各结点的，再求靠近边界外面一行的各结点的，然后解出边界内各结点的联立差分方程。h020440224044yyxx得出：为了求得弹性体边界以内各结点处的值，须利用应力函数的双调和方程，但也必须把它变换为差分方程。利用差分公式代入双调和方程：0)()(2)(8201211109876543210（c）（一）边界上各结点的值及导数值如图5-3B点的值为：令ΦA=0图5-3(1)(2)()()(3)BBxAABByAABBBBxByAAfdsyfdsxyyfdsxxfds（d）其中，（1）...