1新课预习讲义选修2－1：第二章椭圆（一）§2.2.1椭圆及其标准方程●学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.●学习重点：本节的重点是椭圆的标准方程，坐标法的基本思想；●学习难点1.难点是椭圆标准方程的推导与化简、坐标法的应用．2.本节充分体现了待定系数法、方程思想和数形结合思想的作用．因此很容易和三角、方程等内容结合出题.一、自学导航●知识回顾：复习：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么？圆的一般方程是什么？●预习教材：第38页——第43页的内容。●自主梳理：1.椭圆的定义是_________________________________________________2.椭圆的标准方程是_____________________________________________●预习检测：1．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：由题意：焦距为4，则有m－2－(10－m)＝422，解得m＝8.答案：D2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．8解析：由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.答案：D3．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆标准方程为y216＋x2＝1.答案：y216＋x2＝14．已知椭圆8x281＋y236＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29＋y24＝1共焦点的椭圆的方程．解析：(1)把M的纵坐标代入8x281＋y236＝12PF2F1得8x281＋436＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x29＋y24＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x2a2＋y2a2－5＝1，把M点坐标代入得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为x215＋y210＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：我们把平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为2a，为什么122aFF？当122aFF时，其轨迹为；当122aFF时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F，2(4,0)F，到1F，2F两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122aFF．新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程3222210xyabab其中222bac若焦点在y轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是．●典例导析：题型一、用待定系数法求椭圆的标准方程例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.(3)求焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点．[思路点拨]由题目可获取以下主要信息：(1)两小题均已知焦点坐标；(2)由(1)知椭圆过点(5,0)；由(2)知椭圆上的一点P到两焦点的距离之和为26；由(3)知椭圆上两点已知．解答本题可先根据焦点位置设出相应方程，再利用a，b，c的关系求出待定系数得椭圆方程．[解题过程](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为2a＝5＋32＋02＋5－32＋02＝10,2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所求椭圆的方程为x225＋y216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所求椭圆方程为y2169＋x2144＝1.(3)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．4依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2...
