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实用标准文案精彩文档第三节最小二乘估计量的性质三大性质:线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值1?和2?分别是观测值tY或者是扰动项t的线性组合,或者叫线性函数,也可以称之为可以用tY或者是t来表示。1、2?的线性特征证明(1)由2?的计算公式可得:222222()?ttttttttttttttttxyxYxYxxxxxxxxYYYY需要指出的是,这里用到了1()0ttttttxXXXXnXx因为tx不全为零,可设2tttxbx,从而,tb不全为零,故2?ttbY。这说明2?是tY的线性组合。(2)因为12tttYX,所以有212122?ttttttttttttbbXbbXbbY这说明2?是t的线性组合。需要指出的是,这里用到了实用标准文案精彩文档220tttttxxbxx以及2222222201ttttttttttttttttxxXxbXXxxxxXxXxxxxx2、1?的线性特征证明(1)因为12??YX,所以有121??1tttttYXYXbnXbnYY这里,令1aXbn,则有1?taY这说明1?是tY的线性组合。(2)因为回归模型为12tttYX,所以11212?ttttttttttaaXaaXaY因为111tttaXbXbnn。而110tttttttaXXbXXXbXnnXX所以,11?tta这说明1?是t的线性组合。至此,参数的线性特性证明完毕。问题参数估计值线性特性的深层次含义是什么?要根据被解释变量、实用标准文案精彩文档随机扰动项和的随机性来理解。二、无偏性的含义所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。在这里,无偏性是指参数估计值1?和2?的期望值分别等于总体参数1和2。其数学上要求是11?E和22?E。证明:根据参数估计值的线性特征,我们推导出:11?tta,所以有:111111?ttttttttEEaEEaEEaEEaEE相似地,22?ttb,所以有222222?ttttttttEEbEEbEEbEEbEE三、最优性(有的书本上直接称之为最小方差性)的含义最优性是指用最小二乘法得到的参数估计值1?和2?在各种线性无偏估计中得到的方差最小。根据上述的定义,我们可以任意假设2?是用其他方法得到的总体参数2?的一个线性无偏估计。因为2?具有线性特性,我们可以得到:212?tttttccXY,实用标准文案精彩文档21212121212?0tttttttttttttttttttEEcEcXcEXccEXcEccEXccXY又因为2?是用其他方法得到的总体参数2?的一个无偏估计,所以有22?E所以由上述两个结果,可以得到:122tttccX上述式子要成立,必须同时满足两个条件,即0tc和1ttcX现在求2?的方差:222222221122222112211221133223322?varvar??tttttttttttttttttttttttttttcEcEcEcEcEccEEccEcEcEcccEccccccccccYYYYYYYYYYY4422tttstsccEcE因为根据假设条件(常数方差和非自相关,即222var()(())ttttuEEE和cov(,)(())(())(0)(0)()0tsttsststsEEEEE所以,有2222222222?var2ututttuttututttccbbcbbbcb实用标准文案精彩文档2?方差的最后一项为2222222111(1)110tttttttttttttttttttttbcbbcbxxcxxcxxcXXxcXXcx这是因为0tc和1ttcX因此,有22222?varuttutcbb很明显,当ttcb时,2?方差最小,此时,最小值为222?varutb。而在此时,有22??ttttcbYY即两个估计值相等。因为2?的最小方差等于2?的方差,即22??varvar,因此,我们说,2?在所有线性无偏估计中的方差最小,且最小方差为:22222?varuuttbx同理,我们可以证明,1?在所有线性无偏估计中的方差最小,且参数估计值的方差为:2212?varuttXnx。由此,说明,最小二乘估计具有BLUE(bestlinearunbiasedestimation)性质。从而在统计学和计量经济学中得到广泛应用。实用标准文案精彩文档第四节系数的显著性检验一、系数估计值的特性:1、根据系数估计值的线性特性,我们知道系数估计值是tY和t的线性组合。又因为tY和t都服从正态分布,所以,我们可以自然得到两点:一是系数估计值是随机变量(这里是在数学上再次予以证明);二是系数估计值服从正态分布。从而,可以用随机变量的一些数字特征来表示。通常,我们采用的是均值与方差。系数估计值的均值是多少呢?根据系数估计值的无偏性,我们知道,11?E,22?E。这说明系数估计值1?和2?这两个随机变量的数学期望(均值)分别等于总体参数(实际值)。系数估计值的方差又是多少呢?根据系数估计值的最小方差性的证明,我们得到了其方差,即有2212?varuttXnx,22222?varuuttbx。至此,我们可以用随机变量的数学期望和方差来刻画1?和2?这两个随机变量的分布,即有:1?服从均值为1、方...

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