实用标准文案精彩文档第三节最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值1?和2?分别是观测值tY或者是扰动项t的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用tY或者是t来表示。1、2?的线性特征证明（1）由2?的计算公式可得：222222()?ttttttttttttttttxyxYxYxxxxxxxxYYYY需要指出的是，这里用到了1()0ttttttxXXXXnXx因为tx不全为零，可设2tttxbx，从而，tb不全为零，故2?ttbY。这说明2?是tY的线性组合。（2）因为12tttYX，所以有212122?ttttttttttttbbXbbXbbY这说明2?是t的线性组合。需要指出的是，这里用到了实用标准文案精彩文档220tttttxxbxx以及2222222201ttttttttttttttttxxXxbXXxxxxXxXxxxxx2、1?的线性特征证明（1）因为12??YX，所以有121??1tttttYXYXbnXbnYY这里，令1aXbn，则有1?taY这说明1?是tY的线性组合。（2）因为回归模型为12tttYX，所以11212?ttttttttttaaXaaXaY因为111tttaXbXbnn。而110tttttttaXXbXXXbXnnXX所以，11?tta这说明1?是t的线性组合。至此，参数的线性特性证明完毕。问题参数估计值线性特性的深层次含义是什么？要根据被解释变量、实用标准文案精彩文档随机扰动项和的随机性来理解。二、无偏性的含义所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。在这里，无偏性是指参数估计值1?和2?的期望值分别等于总体参数1和2。其数学上要求是11?E和22?E。证明：根据参数估计值的线性特征，我们推导出：11?tta，所以有：111111?ttttttttEEaEEaEEaEEaEE相似地，22?ttb，所以有222222?ttttttttEEbEEbEEbEEbEE三、最优性（有的书本上直接称之为最小方差性）的含义最优性是指用最小二乘法得到的参数估计值1?和2?在各种线性无偏估计中得到的方差最小。根据上述的定义，我们可以任意假设2?是用其他方法得到的总体参数2?的一个线性无偏估计。因为2?具有线性特性，我们可以得到：212?tttttccXY，实用标准文案精彩文档21212121212?0tttttttttttttttttttEEcEcXcEXccEXcEccEXccXY又因为2?是用其他方法得到的总体参数2?的一个无偏估计，所以有22?E所以由上述两个结果，可以得到：122tttccX上述式子要成立，必须同时满足两个条件，即0tc和1ttcX现在求2?的方差：222222221122222112211221133223322?varvar??tttttttttttttttttttttttttttcEcEcEcEcEccEEccEcEcEcccEccccccccccYYYYYYYYYYY4422tttstsccEcE因为根据假设条件（常数方差和非自相关，即222var()(())ttttuEEE和cov(,)(())(())(0)(0)()0tsttsststsEEEEE所以，有2222222222?var2ututttuttututttccbbcbbbcb实用标准文案精彩文档2?方差的最后一项为2222222111(1)110tttttttttttttttttttttbcbbcbxxcxxcxxcXXxcXXcx这是因为0tc和1ttcX因此，有22222?varuttutcbb很明显，当ttcb时，2?方差最小，此时，最小值为222?varutb。而在此时，有22??ttttcbYY即两个估计值相等。因为2?的最小方差等于2?的方差，即22??varvar，因此，我们说，2?在所有线性无偏估计中的方差最小，且最小方差为：22222?varuuttbx同理，我们可以证明，1?在所有线性无偏估计中的方差最小，且参数估计值的方差为：2212?varuttXnx。由此，说明，最小二乘估计具有BLUE(bestlinearunbiasedestimation)性质。从而在统计学和计量经济学中得到广泛应用。实用标准文案精彩文档第四节系数的显著性检验一、系数估计值的特性：1、根据系数估计值的线性特性，我们知道系数估计值是tY和t的线性组合。又因为tY和t都服从正态分布，所以，我们可以自然得到两点：一是系数估计值是随机变量（这里是在数学上再次予以证明）；二是系数估计值服从正态分布。从而，可以用随机变量的一些数字特征来表示。通常，我们采用的是均值与方差。系数估计值的均值是多少呢？根据系数估计值的无偏性，我们知道，11?E，22?E。这说明系数估计值1?和2?这两个随机变量的数学期望（均值）分别等于总体参数（实际值）。系数估计值的方差又是多少呢？根据系数估计值的最小方差性的证明，我们得到了其方差，即有2212?varuttXnx，22222?varuuttbx。至此，我们可以用随机变量的数学期望和方差来刻画1?和2?这两个随机变量的分布，即有：1?服从均值为1、方...
