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极坐标与参数方程综合运用题型一VIP免费

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1极坐标与参数方程综合运用题型(一)【题型分析】题型一圆上的点到直线距离的最值【例1】已知曲线C1的参数方程为32212xtyt曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ﹣),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值.解:(Ⅰ)即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),∴x2+y2﹣2x﹣2y=0,故C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.(Ⅱ) 曲线C1的参数方程为,∴C1的直角坐标方程为,由(Ⅰ)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离,∴动点M到曲线C1的距离的最大值为【变式实践1】1.已知曲线C1:2sin,曲线2C:32545xtyt(t为参数)(I)化C1为直角坐标方程,化C2为普通方程;(II)若M为曲线C2与x轴的交点,N为曲线C1上一动点,求|MN|的最大值.解:(I)曲线C1的极坐标化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0,因为曲线C2的参数方程是,消去参数t得曲线C2的普通方程4x+3y﹣8=0(II)因为曲线C2为直线,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0)曲线C1为圆,其圆心坐标为C1(0,1),半径r=1,则∴,|MN|的最大值为22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:1sin()62,曲线C的参数方程为:22cos2sinxy(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解:(1) 直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.3.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,Ox为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2cos()4.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解:(1)由圆C的极坐标方程ρ=2cos(θ+),化为,展开为ρ2=,化为x2+y2=.平方为=1,∴圆心为.(2)由直线l上的点向圆C引切线长==≥5,∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为5.题型二利用三角函数求最值【例2】在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为4,π2,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解:(1)把极坐标系下的点P4,π2化为直角坐标得P(0,4),3 P(0,4)满足方程x-y+4=0,∴点P在直线l上.(2)因为点Q是曲线C上的点,故可设点Q的坐标为(3cosα,sinα),所以点Q到直线l的距离d=|3cosα-sinα+4|2=2cosα+π6+42(α∈R)则当cosα+π6=-1时,d取得最小值2.【变式实践2】1.在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为:2cos2sinxy(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.解:(1) ρ=cosθ,∴x2+y2=x,即(x-12)2+y2=14.(2)设P(2cosα,2sinα),易知C2(12,0),∴|PC2|=(2cosα-12)2+(2sinα)2=4cos2α-2cosα+14+2sin2α=2cos2α-2cosα+94,当cosα=12时,|PC2|取得最小值,|PC2|min=72,∴|PQ|min=7-12.2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为222=1sin,直线l的极坐标方程为42sincos.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l距离的最小值.解:(1)C1:x2+2y2=2,l:2y+x=4.(2)设Q(2cosθ,sinθ),则点Q到直线l的距离d=|2sinθ+2cosθ-4|3=|2sin(θ+π4)-4|3≥23=233,当且仅当θ+π4=2kπ+π2(k∈Z),即θ=2kπ+π4(k∈Z)时取等号.3.以平面直角坐标系的原点为极点,...

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