目录摘要.............................................................2关键词.............................................................2Abstract..........................................................2Keywords..........................................................2前言...............................................................21预备知识........................................................21.1二次型定义....................................................21.2正定二次型定义................................................32正定二次型的性质...............................................33正定二次型的应用...............................................73.1正定二次型在解决极值问题中的应用..............................73.2正定二次型在分块矩阵中的应用..................................93.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用....................93.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用...............103.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用...................123.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）.....123.7正定二次型在解线性方程组中的应用.............................123.8正定二次型在物理力学问题中的应用.............................13结束语⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...⋯⋯.⋯.13参考文献.........................................................14正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等.关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵ThepropertiesandApplicationsofpositivedefiniteQuadraticFormsAbstract：Inthispaper，thepropertiesofpositivedefinitequadraticformisdiscussed.Bygivingexamples,wemainlyintroducetheapplicationsofpositivedefinitequadraticform,suchastheapplicationtoextremumquestions、studyingthepolynomialrootandapplicationsinphysicsetal.Keywords：positivedefinitequadraticform;positivedefinitematrix;congruence;elementarytransformation；partitionedmatrix.前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.1预备知识1.1二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的nxxx,...,,21的二次齐次多项式nnnnnxxaxaxxaxxaxaxxxf222222112112211121222,...,,⋯+2nnnxa称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型.1.2正定二次型的定义定义1实二次型nxxxf,...,,21称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数nccc,,,21都有0,...,,21ncccf.定义2实对称矩阵A称为正定的，如果二次型AXX'正定.2正定二次型的性质性质1实二次型nxxxf,...,,21=2222211nnydydyd是正定的当且仅当nidi,,2,1,0.证明必要性.因为nxxxf,...,,21=2222211nnydydyd是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数nccc,,,21都有0,...,,21ncccf.于是取一组不全为零的实数：,0,0,1,0,,0,0（这里第i个为1，其余1n个为0），有),0,0,1,0,,0,0(f=nidi,,2,1,0.充分性显然.性质2n元实二次型nxxxf,...,,21是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明设二次型nxxxf,...,,21经过非退化实线性替换变成标准型2222211nnydydyd.（1）上面的讨论表明，nxxxf,...,,21正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当nidi,,2,1,0，即...
