浙江大学2005数学分析1．计算定积分：20sinxdx解：220001cos21sincos2242xxdxdxxdx2．假设f(x)在[0,1]Rieman可积，103()2fxdx，求11lim4ln[1()]nniifnn解：利用可积的定义和Taylor展开作3．设a,b,c是实数，b>-1,c≠0,试确定a,b,c，使得30sinlimln(1)xxbaxxctdtt解：不断利用L’Hospital法则4．f(x)在[a,b]上连续，对于1[,],[,],|()||()|2xabyabfyfx，求证：[,],()0abf证明：利用实数系的几个定理就可以了5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且()afxdx收敛，证明：存在数列{}[,)nxa，使得满足，lim,lim()0nnnnxfx(2)设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且()afxdx收敛，问：是否必有lim()0nnfx，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。（2）不是，构造一个锯齿形的函数5．设f(x)在[0,+∞]具有二阶连续导数，且已知0(0,)sup|()|xMfx和2(0,)sup|"()|xMfx都是有限数，求证：证明：（1）根据Taylor展开：（2）由题1的结论：7．设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且|()|fxdx收敛，证明：lim()sin0nfxnxdx证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦。8．（1）将arctanx展开为幂级数，并求他的收敛半径（2）利用（1）证明：44(1)44......3521nn（3）利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过10m？解：（1）（2）将x=1代入（3）利用Taylor展开的余项9．设U(x,y)是R2/{0,0}上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=22xy，若满足如下的方程：22220uuxy，求f满足的方程及函数u(x,y)解：我对复变函数学的不多，只能看出u(x,y)应该是调和函数，应该可以找到一个共轭的调和函数，然后接下来是不是可以继续作我就不是很了解了。10．（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L>0）。且0()0Lfxdx,l利用f的Fourior级数展开证明：2222004|'()||()|LLfxdxfxdxL，当且仅当存在常数11,aa，使得（2）设是R2上具有C1光滑的连通区域。设()A是的面积，则其中12(,)(,)(,),,rxyrxyirxyjijv其中是单位向量，是的单位法向量（3）同上，()l是的边界长度，利用（1）（2）证明：2()4()lA，当且仅当时圆盘等号成立。证明：（1）011221122010()2244()(cossin)(cossin)...222444'()(cossin)(cossin)...2244()00,{cos,sin,cos,sin}|(LftFouriorftaatatatatLLLLftatatatatLLLLLLftdtatatttLLLLf将表示成级数：由于构成正交基22222220001112222222222222222000111222022)|cossin()242424|'()|sincos()24|'()||LLLnnnnnnnLLLnnnnnnnLnnLtdtatdtatdtaaLLnnnnLnftdtatdtatdtaaLLLLLftdtL222330()|,...0Lftdtaaaa当且仅当。稍加变换，就知命题成立（2）（3）本题的证明是从陈纪修老师的《数学分析（下册）》P.432的定理我觉得这道题目的难点是把l2表达出来，开始，我直接用了极坐标的方法来做，结果在一个不等号出出现了问题。他做了一次参数方程，在变换到弧度制，巧妙的把l2的问题解决了。
