熟练运用旋转解决平面几何中的问题VIP免费

一切为了学生的发展一切为了家长的心愿熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分1、90°角旋转例1如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE=AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB．于是PB=QB=2a，PQ=22PBQB=22a．在△PQC中， PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．一切为了学生的发展一切为了家长的心愿∴PC2=PQ2＋QC2．∴∠PQC=90°． △PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°．故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．(2) ∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上．在Rt△AQC中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋22a)2＋a2=(10＋42)a2．故S正方形ABCD=12AC2=(5＋22)a2．思考例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:(1)△PBM是等腰直角三角形，且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN=2a，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)2、60°角旋转．例1如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。例2如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形—边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=P′B2．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+∠P'PB=60°+90°=150°。一切为了学生的发展一切为了家长的心愿例3如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．证:连接AC． AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形．故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°． ∠ABC=30°，∴∠ABE=90°．故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=23cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。3、旋转到特殊位置例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α．解: △ABC≌△A1B1C(旋转前后的...