1设a=(x,y)11设a=(x,y)112-X1,y2-"；4p,p的任意一点，若存在一个实数高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：(1)向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。■任意向量的单位化：与AB共线的单位向量是±竺.IAB(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。(5)平行向量又叫共线向量，记作：a〃b.①向量a(aHO)与方共线，则有且仅有唯个实数九，使b=Xa;②规定：零向量和任何向量平行;③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;④平行向量无传递性!(因为有0);⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；(6)向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：，3=(x,y)，贝Ua+b=(x+x,y+y);221212，3=(x,y)，贝寸a_b=(x-x,y-y);221212设A、B两点的坐标分别为(x,y)，(x,y)，则AB=(x1122设a=(x,y)，3=(x,y)，向量平行a//3oxy=xy;11221221设两个非零向量a=(x,y)，b=(x,y)，则3-lb=xx+yy，11221212所以a丄3-3=0oxx+yy=0;1212(6)若3=(x,y)，则3=#x2+y2；(7)定比分点:设点P是直线p,p上异于使12PP=XPP，则九叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的以121212定比为九的定比分点；当P分有向线段PP所成的比为九，则点P分有向线段PP1212所成的比为1.入注意：①设P（x,y）111b，其夹角为0，则cosO=a-ba-bP（x,y）,P（x,y）分有向线段PP所成的比为九,则22212x+九x—121+九y+九y121+九在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x,y）,（x,y）、（x,y）的意义，即分别为1122分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九.当九二1时，就得到线段PP的中12x+xT22y+y122②九的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时O九〉0；12当P点在线段PP的延长线上时O九＜—1；12当P点在线段PP的反向延长线上时0—1＜九＜0；3.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a、方，作OA二a，OB二b，ZAOB=0（0＜0＜K）称为向量a、b的夹角。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b，它们的夹角为0，我们把数量a-bcosO叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a-b，即a-Z?=a-bcosO.零向量与任一向量的数量积是0,注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b在b上的投影为bcosO，投影是一个实数，不一定大于o.（4）b-b的几何意义：数量积b-b等于b与b在b上的投影的乘积。（5）向量数量积的应用：设两个非零向量b当a丄boa-Z=0时，0为直角；当b-b〉o时，O为锐角或b,b同向；注意：b-b〉0是0为锐角的条件；当方•方＜0时，9为钝角或方,方反向；注意：方•方＜0是9为钝角的条件；（6）向量三角不等式:N—方＜a±15“+方当a,方同向o~a土方二方+方，a-15-a-Z?；当a,1反向o2-11=a+a，a-a=a+11；当a,1不共线oa-1＜a±1＜a+1；4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果e、/是同一平面内的两个不共线向量，那么对12于这一平面内的任意向量1，有且只有一对实数九、九，使1=九e+九e'成立，121122我们把不共线的向量e、e叫做这一平面内所有向量的一组基底。12（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线oOA"OB+入OC且入+入=1.12125.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x,y，乙空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如,若MP、MA、M®三个向量共面，则2WP=xMA+yMB.同时，对于空间任意一点O，存在O1=OM+xMA+yMB=mOM+nOf+yOB，其中m+n+y=例1.下列命题：①若廿与R共线，则存在唯一的实数儿使刀=皿；②若向量□所在的直线为异面直线，则向量□一定不共面;③向量PP、Q共面，则它们所在直线也共面；有1[H咂〔，则咻臬1鑒是2.在△ABC中，IABI=5,IACI=6,若B=2C,3.如图，在AABC-I7T则向量前在以上的投影是1=3，点D为边BC上一点,|=2,I*•+3，点E是AD上一点，满足，1④若A、BC三点不共线，o是平面ABC外一点，若h二鑒+訂+...
