31函数y=f(x)的图象关于直线(a+x)+(b-x)a+bx==-22函数的对称轴一、目标认知学习目标：1、函数的对称性及对称轴2、奇偶性周期性、对称性与对称轴的关系重点:■八、、・理解对称轴、周期性、对称性的关系难点:掌握抽象函数对称性的判定及应用以及函数对称轴的应用;二、知识要点梳理(一)、函数图象本身的对称性(自身对称)I、函数y=f(x)的图象关于直线x=T(T为常数)对称的充要条件是f(T-x)=f(T+x)2、函数y=f(x)的图象关于直线x=T(T为常数)对称的充要条件是f(x)=f(2T-x)对称的充要条件是f(a+x)=f(b-x)4、函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=2b5、函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b6、函数y=f(x)的图象关于点A(a,0)对称的充要条件是f(a-x)+f(a+x)=0(二)、奇偶性、单调性、周期性的关系1、奇偶性、单调性、周期性(1)奇偶性是特殊的对称性，即奇偶性能推出对称性，对称性推不出奇偶性。注：奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；(2)周期性与奇偶性互相不能推出。(3)周期函数一个周期内可能具有或不具有单调性，而单调函数一般不具有周期性。即周期性与单调性不能互相推出。2、多对称条件下的周期性(1)y=f(x)的图象关于直线x=a和直线x=m对称，y=f(x)是以T=21m-aI为周期的周期函数(2)y=f(x)的图象关于点A(a,b)和直线x二m对称,y=f(x)是以T=4Im-aI为周期的周期函数(3)y=f(x)的图象关于点A(a,b)和点B(m,b)对称,y=f(x)是以T=2Im-aI为周期的周期函数3、奇偶性、对称性条件下的周期性(1)奇函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称，则y=f(x)是以T=4ImI为周期的周期函数(2)奇函数y=f(x)的图象关于点A(a,0)对称，则y=f(x)是以T=2IaI为周期的周期函数(3)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称，则y=f(x)是以T=2ImI为周期的周期函数(4)偶函数y=f(x)的图象关于直线x二m对称，则y=f(X)是以T=21mI为周期的周期函数(三)、两个函数图像的对称性(主要用：动点转移法)1、点对称典例：2点A(a,b)关于点M(m,n)的对称点A(2n-a,2n-b)点A(a,b)关于直线x二m的对称点A(2m-a,b)点A(a,b)关于直线y=x的对称点A(b,a)点A(a,b)关于直线y二-x的对称点A(-b,-a)2、y=f(x)与y=-f(x)关于X轴对称。y=f(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x二a对称。f(x,y)=0与直线f(x,2b-y)=0关于y=b对称。f(x,y)=0与f(2a—x,2b-y)=0关于点P(a,b)对称。3、y=f(x)与y=f-1(x)关于y=x对称。(四)、二次函数对称轴典型问题二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：①定区间，定轴；②定区间，动轴，③动区间，动轴.要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.1、第一类问题二次函数中的动轴定区间a1例1已知函数y=-x2+ax-+三在区间［0,1］上的最大值是2,求实数a的值。422、第二类问题二次函数中的定轴动区间例2函数f(x)=-x2+4x-1在区间［t,t+1］(twR)上的最大值记为g(t).(1)求g(t)的解析式；(2)求&(t)的最大值3、第三类动轴动区间3例3求函数y=-x(x-a)在区间［-1,a］上的最大值。例4、y二f(x)对一切实数x满足f(4+x)二f(-x),若方程f(x)=0恰好有4个不同的实根、则这些实根之和为1例5.f(x)是定义在R上的偶函数，且f(l+x)=f(1-x)，当一1WxWO时,f(x)=—厅x,则f(8.6)厶例6：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是倚函数or偶函数)，(是or不是)周期函数。例7:函数f(x)满足条件f(x)=—(6-x)和f(x)+f(2-x),若f(a)=-f(2000),ae[5,9],且f(x)在[5,9]上单调，则a的值为例8：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-l)和g-i(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=例9：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)二f(4—x),f(7+x)二f(7—x),f(0)=0,求在区间[—1000,1000]上f(x)=0至少有几个根？4【练习题】1、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1+x)=f(l_x),且xG(7°)时,1f(x)=2x+—rzi5,则fdog?20)=。2、已知函数y=f(x)满足f(x)+f(2_x)=°，则y=f(x)图象关于对称。3、函数y二f(x-1)与函数y二f(1-x)的图象关于关于对称。4、设函数y...
