双曲线重难点题型归纳VIP专享VIP免费

y二3\/4—x2的图象x2-兰二1(x>0)，解得<3双曲线常考重难点题型归纳必考点1:双曲线的定义1.双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点的距离.2.双曲线的标准方程标准方程x2y2a2—b2=1(a>0，b>0)y2x2a2—b2=1(a>0,b>0)图形zf11s例题1：已知点O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0).设点P满足IPAI-IPBI=2,且P为函数y=3^4-x2图像上的点，则IOPI=()【解析】因为1PA1-1PB〔=2<4,所以点P在以A，B为焦点，实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支上,由c=2,a=1可得，b2=c2-a2=4-1=3，即双曲线的右支方程为兀2-¥=1(x>0)，而点P还在函数<13x=Cr1Q33,即\op\=\：—+—=<10.故选：D.y=2例题2：已知F为双曲线C:才苜二1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点•若PQ的长等于虚轴长的2倍，点AG.13,0)在线段PQ上，则APOF的周长为X2A.—1X2B.-X2C.y2D.x2—=1【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可，解得：a2=b2=3，【解析】根据题意，双曲线C:扌-宁二1的左焦点F（-近3,0）,所以点AG/13,0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：IPFI-1AP\=2a=4①IQFI-1QA1=2a=4②而IPQI=12，①+②得：IPFI+1QFI-1PQI=8•.周长为IPFI+1QFI+1PQI=8+2IPQI=32.故答案为：32.【小结】1•双曲线定义的主要应用（1）判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.⑵在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合IIPFJ—IPF2ll=2a,运用平方的方法,建立与IPF^IPF』的联系.2•用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线.3.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.4.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.双曲线的标准方程例题3：已知双曲线兰-兰=1（a>0,b>0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，是边长为2a2b2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）b—=tan60°=、a双曲线方程为：X2-*=1•本题选择D选项.【小结】1．求双曲线方程的思路⑴如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2,b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为mx2-ny2=1(mn>0)，②与兰-二=1共渐近线的双曲线可设为三-二二九孤丰0),(3)等轴双曲线可设为x2-y2二九(九H0)a2b2a2b2等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.X2y2y2x2⑵设方程：根据焦点位置，设方程为a2—b2=l或a2—b2=l(a>0,b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2+ny2=1(m・n<0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求.3．双曲线方程的几种形式：x2y2(1)双曲线的一般方程：当AB&0时，方程Ax2+By2=C可以变形为C+C=1，由此可以看出方程Ax2+By2AB=C表示双曲线的充要条件是AB&0,且A，B异号.此时称方程Ax2+By2=C为双曲线的一般方程.利用x2y2一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax2+By2=l(ABv0),将其化为标准方程，即了+丄=1.因此,AB当A>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当B>0时，表示焦点在y轴上的双曲线.(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线養一b=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为a^—b；—7=1(a>0,b>0)；与双曲线莹一盍=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为—玉—7=1(。>°，b>0).2112【解析】•.上二忑,.」c=娱，根据双曲线的定义可得||PF]-PFS：1△PF1F2一=_|PF|-IPFI=4,即丨PFI-PF21112」=2a=8，丁FP丄FP,.•」PFI2+PF1212=(2c)2,・•・丫PF-PF+2PF-PF=4c2,即a2一5a2+4=0,解得a=1，故选：A.所以P的轨迹方程x2y2115600-44400=1(x>340).必考点2:双曲线的实际应用例题4：已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为...