55半、5一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax23+bx+c（a、b、c为常数,aHO）的"衍生直线"；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形已知抛物线），=-半扌―芈X+2JJ与其"衍生直线"交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C・（1）填空：该抛物线的“衍生直线〃的解析式为,点A的坐标为，点B的坐标为:（2）如图，点M为线段CB±一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的"衍生三角形"，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线"上，是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）V--—X+—:（-2,2®；（1,0）；「33【解析】【分析】（1）由抛物线的"衍生直线"知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD丄y轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可【详解】2N点的坐标为（0,2JJ-3）,（0,2^3+3）:33225255产(x-R-玄a,故ARCE的面积的最大值为一言二而AACE的面积的最大值为可所以2552）‘，=_仝/!亍—也讥+2前，a=_巫,则抛物线的"衍生直线"的解析式为333竽）或2,联立两解析式求交点<尸-匹x十迹;/.A(-2,2®，B(1,0):(2)如图1,过A作AD丄y轴于点D,在)，=—半亍一斗3/+2笛中，令尸0可求得/.C(-3,0),且A(-2,2>/3)，•••AC=J(_2+3)U(2®=皿由翻折的性质可知AN=AC=713，•••△AMN为该抛物线的“衍生三角形"，•••N在y轴上，且AD=2,在RtAAND中，由勾股定理可得DN=7AN2-AD2=A/TT4=3，OD=2>/3»•••ON=2V3-3或ON=2笛十3,•••N点的坐标为(0,2j亍-3),(0,2jT十3)；图1(3)①当AC为平行四边形的边时，如图2,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK丄x轴于点K,则有ACIIEF且AC=EF,/.ZACK=ZEFH,在厶ACK和厶EFH中ZACK=ZEFH/3»•••抛物线的对称轴为x=-l,•••F点的横坐标为0或・2,•・•点F在直线AB±,•••当F点的横坐标为。时，则F2,乎)，此时点E在直线AB下方,•••E到y轴的距离为EH-0A2JL羊-半，即E的纵坐标为-芈,当F点的横坐标为・2时，则F与A重合，不合题意，舍去;②当AC为平行四边形的对角线时，••・C(-3,0),且A(・2,2>/3)，•••线段AC的中点坐标为(-2.5,,设E(-1,t),F(x,y),则x-l=2x(-2.5),y+t=2y/3>x=-4,y=2>/3-t,2前心竽x3+羊,【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3・婕)，FG43y=3我f+c的对称轴是辽.142如图：在平面直角坐标系中'直孙尸厂亍办轴交于点久经过点A的抛物线(1)求抛物线的解析式；(2)平移直线I经过原点0,得到直线m,点P是直线m上任意一点，PB丄x轴于点B,PC丄y轴于点C,若点E在线段0B上，点F在线段0C的延长线上，连接PE,PF,且PE=3PF.求证：PE丄PF；(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE丄PF时，抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-3x-4：(2)证明见解析；(3)点Q的坐标为(-2,6)或(2,-6)・【解析】【分析】3(1)先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A,对称轴是x二一列出关于a、c的方程组2求解即可；(2)设P(3a,a),则PC=3a,PB=a,然后再证明ZFPC=ZEPB,最后通过等量代换进行证明即可；(3)设E(a,0)，然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到冬迟=匕■半，鱼2/+耳,从而2222可求得点Q的坐标(用含a的式子表示)，最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可.【详解】143(1)当y=o时，-X-—=0,解得X=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=—,33216n-12+c=0得＜'.~2a~2(Cl=1解得｛「抛物线的解析式为y=x2-3x-4；[c=-4(2)•・•平移直线I经过原点O,得到直线m,...
