第1页共8页三垂线定理及其逆定理一、单选题（共8道，每道12分）1.如图，BC是的斜边，过点A作厶ABC所在平面a的垂线AP,连接PB,PC,过点A作AD丄BC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有（）A.4个B.6个C.7个D.8个答案：D解题思路：:AP丄平面6•••也在平面厲内的射影为AD,由三垂线定理可得，PD1BC,:.LABC,AABD,AACD,LPBD,LPCDfbFAE,△尸3,AJMC均为直角三角形，共&个，故选D・试题难度：三颗星知识点：三垂线定理2•如图，在正方体曲UD-4易UQ］中，E为4G的中点，则下列与直线CE垂直的是（）第2页共8页A.直线ACB.直线热D】C.直线4°ID.直线堆"答案：B解题思路：如图，连接耳巩,B则点£在场础上，点C在平面裁却］內的射影是G，•-•CE在平面斗内的射影是，C\E丄场2,由二垂线定理可得，C£_L耳D］；在四边形仏1心&中，CfilAC,易得显（7不可能和CE垂直：出D』眈…叙IQC,而SC,明显与作不垂直,.-.M不可能和作垂直.综上9选B・试题难度：二颗星知识点：二垂线定理3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,直线丨过点A且垂直于平面ABC，动点戸门，当点P逐渐远离点A时，ZPCB的度数（）第3页共8页A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案：C解题思路：由题意可得，AC1BC,丁阴丄平面由三垂线定理的逆定理可得，BCLPC,.■.ZPCT^O0,即乙FCE的度数保持不变，故选C.试题难度：二颗星知识点：二垂线定理4.已知三棱锥P-ABC的高为PH,若P到厶ABC的三边的距离相等，且点H在厶ABC内，则点H为厶ABC的（）A.垂心B.重心C.外心D.内心答案：D解题思路：由题意，作岀符合题意的图瑕过点尸分别作PEUB于点£,PF1AC于点凤连接FEFF,HE,HF,第4页共8页PHL平面ABC,■■-PE在平面ABC内的射影为HE,PE.LAB,由三垂线定理的逆定理可得，HE同理可得：Hf'lAC,PE二FF,HE^HF,即点H到AB,AC的距离相等，同理可证，点耳到△朋C三边的距离都相等,・•■点H^ABC的内心，故选D.试题难度：二颗星知识点：二垂线定理5.四面体ABCD中，棱AB,AC,AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为厶BCD的()A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B解题思路:A.ZCEC.ZCEBDF,CFDFtauZC£5=——，tanZD£2=——，EFEF由CF>DF可知，£CEB>^DEB,故选A・试题难度：三颗星知识点：三垂线定理7.如图，A0丄平面a,垂足为点0,,BC丄0B,若/ABO=45°,乙COB=30°，则/BAC的余弦值为（）A.B."答案：B解题思路:'：A0丄平面加占Cu平面优，BC10B,由三垂线定理可得，AB1BC,第7页共8页设0^=2,'：^ABO=^,ZCOB=^,:.AO=2,.45=2^2,BC=—?3在RtA.dSC中，AB=2近,BC=^~,ZA3C=90°,：*=*2如（爭=牢,gsc=營皓平故选B・试题难度：三颗星知识点：三垂线定理8•如图，三棱柱血的侧棱*耳在下底面的射影BD与AC平行，若*耳与底面的夹角为30°，且上丘』'二统°，则/ACB的余弦值为（）A.&B.<邑C.3D.羽答案：C解题思路:如图，过点D作DE丄肮;垂足为点比连接鸟E,第8页共8页由题意可得，耳在下底面上的射影为D,'■■眄弓底面的夹角为30=；.'.=30°,设BB,=2,则耳D=l,BD=V5,丁丘巨在下底面上的射影为刀耳且DEl^C；由二垂线定理可得，丄BC,■//驴C二60°,.'.2E=1,:.cosZDBE=—=^~,ED3AC,:.ZACB=ZDBE,：.^ZACB=^-,3故选C.试题难度：二颗星知识点：二垂线定理
