2011届高考限时智能检测第四部分：数列、不等式（4）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．等差数列{an}的通项公式an＝2n＋1，数列bn＝，其前n项和为Sn，则Sn等于()A.B.C.D．以上都不对【解析】∵an＝2n＋1，∴bn＝＝(－)，∴Sn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.【答案】B2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是()A.B.C.D.【解析】∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x＝x(x＋1)，∴＝＝－，∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.【答案】A3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝()A．66B．65C．61D．56【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋＝2＋64＝66.【答案】A4．(2009年哈师大附中模拟)设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大()A．17B．18C．17或18D．19【解析】令an≥0，得1≤n≤18.∵a18＝0，a17>0，a19<0，∴到第18项或17项和最大．【答案】C5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是()A．7B．8专心爱心用心1C．9D．10【解析】∵1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.若Sn>1020，则2n＋1－2－n>1020，∴n≥10.【答案】D二、填空题6．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝______.【解析】令n＝1，得＝4，∴a1＝16.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)．与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2，∴an＝4(n＋1)2，∴n＝1时，a1适合an.∴an＝4(n＋1)2，∴＝4n＋4，∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n.【答案】2n2＋6n7．有限数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若把称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2009项的数列；a1，a2，a3，…，a2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列：1，a1，a2，a3，…，a2009的优化和为______．【解析】依题意，＝2010，∴S1＋S2＋…＋S2009＝2009×2010.又数列1，a1，a2，…，a2009相当于在数列a1，a2，…，a2009前加一项1，∴其优化和为＝＝2010.【答案】20108．已知f(x)为一次函数，且有(i)＝7，(i)＝75，i＝m表示a1＋a2＋…＋an＝m，则f(n)(n∈N*)＝______.【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴f(n)＝an＋b，∴f(n)为等差数列．∵(i)＝7，即f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＝＝7，即4a＋b＝1①又(i)＝75，∴＝75，即8a＋b＝5②由①②，得a＝1，b＝－3，∴f(n)＝n－3.【答案】n－3三、解答题9．(2009年苏州模拟)数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2)．(1)求a2、a3的值；(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)∵a1＝3，an＋an－1＋2n－1＝0(n∈N*且n≥2)，专心爱心用心2∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝1.(2)∵＝＝＝－1(n≥2)，∴数列{an＋n}是首项为a1＋1＝4，公比为－1的等比数列，∴an＋n＝4×(－1)n－1，即an＝4×(－1)n－1－n，∴{an}的通项公式是an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*)．(3)∵an＝4×(－1)n－1－n(n∈N*)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋[4(－1)n－1－n]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n－1]－(1＋2＋3＋…＋n)＝2[1－(－1)n]－.10．(2009年河北衡水调研)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝＋log2的图象上的任意两点，且OM＝(OA＋OB)，已知点M的横坐标为.(1)求证：点M的纵坐标为定值；(2)若Sn＝()，其中n∈N*且n≥2，求Sn；(3)已知an＝，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn<λ(Sn＋1＋1)对于一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．【解析】(1)∵OM＝(OA＋OB)，设M(，y)，则x1＋x2＝1，且y＝＝＝＝＝.即点M的纵坐标为定值．(2)由(1)可知，若x1＋x2＝1，则f(x1)＋f(x2)＝1.∵Sn＝f()＋f()＋…＋f()，∴2Sn＝[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝n－1，∴Sn＝.(3)当n≥2时，an＝＝＝4(－)，Tn＝＋4(－＋－＋…＋－)＝2－＝<λ(Sn＋1＋1)＝λ·，即λ>.∵＝≤(当且仅当n＝，即n＝2时取等号)，∴λ>.专心爱心用心3
