OlxyABF·M第17题圆锥曲线练习题一、填空题1.一个动点到两个定点A，B的距离的差为定值(小于两个定点A，B的距离)，则动点的轨迹为________．2.(2011·海安中学模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．3.已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4.(2010·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．5.已知P为抛物线y2＝4x的焦点，过P的直线l与抛物线交于A，B两点，若Q在直线l上，且满足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，则点Q总在定直线x＝－1上．试猜测：如果P为椭圆＋＝1的左焦点，过P的直线l与椭圆交于A，B两点，若Q在直线l上，且满足|AP|·|QB|＝|AQ|·|PB|，则点Q总在定直线________上．6.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.7.(2010·重庆)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF＝3FB，则弦AB的中点到准线的距离为________．8.已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若F1A＝2F1B，则椭圆的离心率为________．二、解答题9.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为.求抛物线与双曲线的方程．10.如图，已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，求m6＋m4的值．11.如图，已知抛物线的准线为,焦点为.⊙M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点,交⊙M于另一点,且.（Ⅰ）求⊙M和抛物线的方程；（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；（Ⅲ）过上的动点向⊙M作切线,切点为,求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.12.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线(2－k)x－(1＋2k)y＋(1＋2k)＝0(k∈R)所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP＝PQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试求OQ·NQ的值，并由此判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．参考答案1.双曲线的一支解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．2.解析：由题意可知FF2=F1F2，即c-=2c，化简得c=2b，所以c2=4(a2-c2)，此椭圆的离心率e==.3.x2=-4y解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y=1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x2=-4y.4.-=1解析：由渐近线方程可知=，①因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c=4，②又c2=a2+b2，③联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为-=1.5.x=-解析：x=-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x=-.6.2解析：由题意可知过焦点的直线方程为y=x-，联立有⇒x2-3px+=0，由AB=x1+x2+p=8，得4p=8⇒p=2.7.解析：如图，过点A、B作准线的垂线交准线于A1B1，过B作BC⊥AA1于C，设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=，直线AB方程为y=(x-1)，与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0，所以AB中点到准线距离为+1=+1=.8.解析：如图，过B作AC的垂线，垂足为E，由题意和椭圆第二定义可知E为AC的中点，cos60===，故e=.9.由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，将交点代入得p=2，故抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c=1.又点也在双曲线上，因此有-=1.又a2+b2=1，解得a2=，b2=，因此，双曲线的方程为4x2-=1.10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，=-m，将x=my-m代入抛物线方程整理得y2-2pmy+2pm=0，由韦达定理得y1+y2=2pm，y1y2=2pm，∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2，又△OAB的面积S=|y1-y2|=(-m)4=2，两边平方即可得m6+m4=2.1...
